数据结构—— 图：什么是图

Posted 2021-06-15 大彤小忆

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构—— 图：什么是图相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1. 什么是图

1. 什么是图

1.1 图的概述

图（Graph）：
$\\bullet$ 表示“多对多”的关系
$\\bullet$ 包含
$\\diamond$ 一组顶点：通常用 V（Vertex）表示顶点集合
$\\diamond$ 一组边：通常用 E（Edge）表示边的集合
$\\cdot$ 边是顶点对：（v, w） $\in$ E，其中 v,w $\in$ V

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$\\cdot$ 有向边 <v,w> 表示从 v 指向 w 的边（单行线）

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$\\cdot$ 不考虑重边和自回路

在这里插入图片描述

1.2 抽象数据类型定义

类型名称： 图（Graph）
数据对象集： G(V，E)由一个非空的有限顶点集合 V 和一个有限边集合 E 组成
操作集： 对于任意图 G $\in$ Graph，以及 v $\in$ V，e $\in$ E，主要操作有：

Graph Crate()：建立并返回空图；
Graph InsertVertex(Graph G,Vertex v)：将v插入G；
Graph InsertEdge(Graph G,Edge e)：将e插入G；
void DFS(Graph G,Vertex v)：从顶点v出发深度优先遍历图G；
void BFS(Graph G,Vertex v)：从顶点v出发宽度优先遍历图G；
void shortestPath (Graph G, vertex v, int Dist[])：计算图G中顶点v到任意其他顶点的最短距离；
void MST (Graph G)：计算图G的最小生成树。

1.3 常见术语

无向图：图中所有的边无所谓方向。
有向图： 图中的边可能是双向，也可能是单向的，方向是很重要的。
权值： 给图中每条边赋予的值，可能有各种各样的现实意义。
网络： 带权值的图。
邻接点： 有边直接相连的顶点。
出度： 从某顶点发出的边数。
入度： 指向某顶点的边数。
稀疏图： 顶点很多而边很少的图。
稠密图： 顶点多边也多的图。
完全图： 对于给定的一组顶点，顶点间都存在边。

1.4 怎么在程序中表示一个图

1.4.1 邻接矩阵

邻接矩阵： $G [N] [N]$ ——N个顶点从0到N-1编号
$G[i][j]=\\left\\{\\begin{matrix} 1 \\ _{}\\ _{}若<v_{i},v_{j}>是G中的边\\\\ 0 \\ _{}\\ _{}否则 \\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{}\\ _{} \\end{matrix}\\right.$ 下图左边所示的图的邻接矩阵如右边所示。

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问题： 对于无向图的存储，怎样可以省一半空间?
方法： 用一个长度为N(N+1)/2的1维数组A存储 ${G_{00},G_{10},G_{11},......,G_{n-1 \\ _{}0} ,......,G_{n-1\\ _{} n-1}\\}$ ，则 $G_{ij}$ 在A中对应的下标是 $(i * (i + 1) / 2 + j)$ 。

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对于网络，只要把 $G [i] [j]$ 的值定义为边 $v_{i},v_{j}>$ 的权重即可。
问题： $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 之间若没有边该怎么表示?

优点： 1. 直观、简单、好理解；
2. 方便检查任意一对顶点间是否存在边；
3. 方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点)
4. 方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”)
● 无向图：对应行（或列）非0元素的个数
● 有向图：对应行非0元素的个数是“出度”；对应列非0元素的个数是“入度”。

缺点： 1. 浪费空间：存稀疏图（点很多而边很少)有大量无效元素；
● 对稠密图（特别是完全图)还是很合算的
2. 浪费时间：统计稀疏图中一共有多少条边。

1.4.2 邻接表

邻接表： G[N]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素。

下图左边所示的图的邻接表如右边所示。

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对于网络，结构中要增加权重的域。

特点： 1. 方便找任一顶点的所有“邻接点”；
2. 节约稀疏图的空间；
● 需要N个头指针＋2E个结点（每个结点至少2个域)
3. 方便计算任一顶点的“度”?
● 对无向图：是的
● 对有向图：只能计算“出度”，需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边)来方便计算“入度”
4. 方便检查任意一对顶点间是否存在边? No

1.5 图的表示法的实现

对于图1所示的图，分别用邻接矩阵和邻接表实现图的表示。

在这里插入图片描述

图1

1.5.1 使用邻接矩阵实现图的表示

使用邻接矩阵表示图的代码实现如下所示。

#include<iostream>
using namespace std;

/* 图的邻接矩阵表示法 */
#define MaxVertexNum 100    // 最大顶点数设为100
typedef int Vertex;         // 用顶点下标表示顶点,为整型
typedef int WeightType;        // 边的权值设为整型
typedef char DataType;        // 顶点存储的数据类型设为字符型

/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode {
	Vertex V1, V2;    // 有向边<V1,V2> 
	WeightType Weight;  // 权重 
};
typedef PtrToENode Edge;

/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode {
	int Nv;   // 顶点数 
	int Ne;   // 边数
	WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum];  //邻接矩阵
	DataType Data[MaxVertexNum]; // 存顶点的数据 
	/* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现 */
};
typedef PtrToGNode MGraph;  // 以邻接矩阵存储的图类型


// 初始化图 
MGraph CreateGraph(int VertexNum) 
{
	Vertex V, W;
	MGraph Graph;

	Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode));  // 建立图
	Graph->Nv = VertexNum;
	Graph->Ne = 0;
	/* 初始化邻接矩阵 */
	/* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
	for (V = 0; V < VertexNum; V++)
		for (W = 0; W < VertexNum; W++)
			Graph->G[V][W] = 0;
	return Graph;
}

// 插入边 
void Insert(MGraph Graph, Edge E) 
{
	// 插入边 <V1,V2>
	Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;

	// 如果是无向图，还需要插入边 <V2,V1>
	Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}

// 建图 
MGraph BuildGraph() 
{
	MGraph Graph;
	Edge E;
	Vertex V;
	int Nv, i;

	cin >> Nv;   // 读入顶点数 
	Graph = CreateGraph(Nv);  // 初始化有Nv个顶点但没有边的图

	cin >>(Graph->Ne);  // 读入边数 
	if (Graph->Ne != 0)  // 如果有边
	{
		E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));  // 建立边结点
		for (i = 0; i < Graph->Ne; i++) 
		{
			cin >> E->V1 >> E->V2 >> E->Weight;// 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 
			Insert(Graph, E);
		}
	}

	// 如果顶点有数据的话，读入数据
	for (V = 0; V < Graph->Nv; V++)
		cin >> (Graph->Data[V])什么是图神经网络？
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