欧式空间04——正交补正交投影内射影
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了欧式空间04——正交补正交投影内射影相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
- 欧氏空间01——内积与欧氏空间、Cauchy-Schwarz不等式、度量矩阵
- 欧式空间02——标椎正交基、Schmidt 正交化、正交矩阵、欧氏空间的同构、QR分解
- 欧式空间03——正交变换、正交相似标准形
- 欧式空间04——正交补、正交投影、内射影
- 欧氏空间05——对称变换和对称矩阵、实对称矩阵的标准形、正交相似、正交相似对角化
正交补
欧氏空间的正交子空间
定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }} 定义1 设 U U U 是欧氏空间 V V V 的子空间, 则易见 U \\boldsymbol{U} U 关于 V \\boldsymbol{V} V 的内积也构成欧氏空间, 称为欧氏子空间。
定
义
2
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义2} }}
定义2 设
U
U
U 是内积空间
V
V
V 的欧氏子空间, 如果向量
β
\\beta
β与
U
U
U 中所有向量正交, 则称向量
β
\\beta
β 与子空间
U
U
U 正交,记为
(
β
,
U
)
=
0
(\\beta, U)=0
(β,U)=0 或
β
⊥
U
.
\\beta \\perp U .
β⊥U.
β
⊥
U
⇔
对任意
α
∈
U
,
(
α
,
β
)
=
0
⇔
设
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
r
是
U
的一个基,则
(
α
i
,
β
)
=
0
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
r
\\begin{array}{l} \\beta \\perp U\\\\ \\Leftrightarrow \\text { 对任意 } \\alpha \\in \\boldsymbol{U},(\\alpha, \\beta)=\\mathbf{0}\\\\ \\Leftrightarrow \\text { 设 } \\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{r} \\text { 是 } U \\text { 的一个基,则 }\\\\ \\left(\\alpha_{i}, \\beta\\right)=0, i=1,2, \\cdots, r \\end{array}
β⊥U⇔ 对任意 α∈U,(α,β)=0⇔ 设 α1,α2,⋯,αr 是 U 的一个基,则 (αi,β)=0,i=1,2,⋯,r
定
义
3
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义3} }}
定义3
V
1
,
V
2
V_{1}, V_{2}
V1,V2 是欧氏空间
V
V
V的欧氏子空间，若对于
∀
α
∈
V
1
,
β
∈
V
2
,
恒有
(
α
,
β
)
=
0
,
\\forall \\alpha \\in V_{1}, \\quad \\beta \\in V_{2}, \\quad \\text { 恒有 } \\quad(\\alpha, \\beta)=0,
∀α∈V1,β∈V2, 恒有 (α,β)=0,
则称子空间
V
1
V_{1}
V1 与
V
2
V_{2}
V2 为正交的，记作
V
1
⊥
V
2
.
V_{1} \\perp V_{2} .
V1⊥V2.
定
义
4
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义4} }}
定义4
V
V
V中所有与
U
\\boldsymbol{U}
U 正交的向量构成的集合记为
U
⊥
\\boldsymbol{U}^{\\perp}
U⊥, 即
U
⊥
=
{
β
∈
V
∣
(
β
,
U
)
=
0
}
U^{\\perp}=\\{\\beta \\in V \\mid(\\beta, U)=0\\}
U⊥={β∈V∣(β,U)=0}
则
U
⊥
U^{\\perp}
U⊥ 是
V
V
V 的子空间, 称为
U
U
U 的
正
交
补
空
间
\\large\\color{red}{\\boxed{\\color{green}{ 正交补空间 }}}
正交补空间.
正交补
定
义
5
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义5} }}
定义5
V
,
V
2
\\boldsymbol{V}_{\\boldsymbol{}}, \\boldsymbol{V}_{2}
V,V2 是欧氏空间
V
V
V 的两个子空间，若满足
:
:
:
V
1
⊥
V
2
,
且
V
1
+
V
2
=
V
,
V_{1} \\perp V_{2}, \\text { 且 } V_{1}+V_{2}=V,
V1⊥V2, 且 V1+V2=V,
则称
V
2
V_{2}
V2 为
V
1
V_{1}
V1 的
正
交
补
\\large\\color{red}{\\boxed{\\color{green}{ 正交补 }}}
正交补.
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }} 定理1 设 V V V 是 n n n 维欧氏空间, U \\boldsymbol{U} U 是 V \\boldsymbol{V} V 的子空间, 则 V = U ⊕ U ⊥ . \\boldsymbol{V}=\\boldsymbol{U} \\oplus \\boldsymbol{U}^{\\perp} . V=U⊕U⊥.
注 ： \\Large{\\color{violet}{注：}} 注： n \\boldsymbol{n} n 维欧氏空间 V V V 的每个子空间 V 1 V_{1} V1 都有唯一正交补.
设 V 1 , V 2 V_{1}, V_{2} V1以上是关于欧式空间04——正交补正交投影内射影的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章