Java开发之我是一个会动态规划的小偷

Posted 2021-06-11 Java架构没有996

一、初始化状态

我是一个专业的小偷，遇到这种问题，先从最简单的开始思考

假设房屋数量n = 1时，那么不用说了，最高金额等于这间房屋的现金

假设房屋数量n = 2时，最高金额等于两间房屋中较大金额的那间的现金

假设房屋数量n = 3时，会有几种情况

因为连续偷两间屋子会报警，所以当前这件屋子，要么偷，要么不偷

1）假设我们偷第三间屋子，那么前面只能偷第一间屋子
2）假设我们不偷第三间屋子，那么就相当于偷前两间屋子即n=2的情况
我们取这两种情况的最高金额，也就是

房屋数量n为3的最高金额 = max(前面两间房屋算出的最高金额,第一间屋子金额+第三间屋子金额)

假设房屋数量n= 4时：

1）假设我们偷当前这间屋子，那么就相当于偷前两间屋子的情况加上当前这间屋子的金额
2）假设我们不偷当前这间屋子，那么就相当于偷前三间屋子的情况

我们取两种情况的最大值，即

f(4) = max(f(2)+第4间屋子金额，f(3))

二、递推公式

我是一个聪明的小偷，很快我就发现，事情其实并不简单

今晚能抢到的最高金额 等于：

1） 偷第n间的情况即前n-2间屋子能抢到的最大金额加上第n间屋子金额

2）不偷第n间的情况即前n-1间屋子能抢到的最大金额

这两种情况中的较大值

即f(n) = max(f(n-2) + 第n间屋子金额，f(n-1))

我忽然发现，计算每一次的状态,从前面的状态来规划下一步的状态，这不就是我学过的动态规划吗？

三、状态缓存

我是一个爱做笔记的小偷，把每次偷的最高金额记下来，我就不需要重复计算啦

用一个数组dp就可以解决啦，即dp[n] = max(dp[n-2] + 第n间屋子金额，dp[n-1])

这种方法的时间复杂度是O(n)，空间复杂度是是O(n)。

python版本代码如下：

class Solution(object):
    def rob(self, nums):
        if len(nums) == 0:
            return 0    
        if len(nums) <= 2:
            return max(nums)    
        dp = [nums[0],max(nums[0],nums[1])]
        for i in range(2,len(nums)):
            dp.append(max((dp[i-2] + nums[i]), dp[i-1]))
        return max(dp)

四、空间压缩

我是一个精打细算的小偷，很快我又发现，我也不必把每一次计算的金额都记下来，
每次我只需要保留

前面n-2间房屋的算出来的金额 和 前面n-1 间房屋算出来的金额
这两个金额就可以了

这样这种方法的时间复杂度是O(n)，空间复杂度是是O(1)。

python版本代码如下：

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums) == 0:
            return 0  
        if len(nums) <= 2:
            return max(nums)
        m1 = nums[0]
        m2 = max(nums[0],nums[1]) 
        for i in range(2,len(nums)):
            m1,m2 = m2,max(m1+nums[i],m2)
        return m2    

我突然发现，这和之前青蛙老弟爬楼梯的题目怎么差不多啊：青蛙爬楼梯

总结

简易动态规划四部曲

1）初始化状态
尝试列出每种状态的情况

2）递推公式
由前面的状态尝试找出规律，推出递推公式

3）状态缓存
将每一次计算出的状态缓存下来,从而为下一步的状态提供记录，通常是一维数组或者二维数组

4）空间压缩
当前状态常常只需要根据前面某些状态进行计算，因此可以不必保留每一次的状态

即一维数组可以变成O(1)的空间复杂度 , 二维数组可以变成一维数组

我真是太聪明啦！

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Java开发交流君样：756584822