美团2面技术之被问二维树状数组和前缀和

Posted 2021-06-11 Java架构没有996

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了美团2面技术之被问二维树状数组和前缀和相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

前些日子在做一个 “时间线上的区间统计” 的需求时，突然对树状数组有了新的认识。

来自实际工作中的需求

每一天有一个目标值 value ，给定日期 t1 和 t2，求 t1 到 t2 的 value 总和
这种需求在数据统计的场景上很常见，例如，统计最近 30 天的访问量。如果指标数量比较少，时间区间比较固定，我们可以通过预先计算把结果缓存起来达到快速查询的目的。如果时间区间不定，我们就需要通过遍历求和来解决问题。当访问量很大，这种遍历的做法就不可取了。

静态前缀和

这种问题大家在 leetcode 应该做过很多次了，假如不需要任何的修改，我们可以使用前缀和来解决区间查询的问题，当然前提是运算函数必须满足结合律（比如算平均数，就不满足结合律）。于是区间求值的问题就变成了：

\\sum_{i=m}^{n}v_{i}=\\sum_{i=0}^{n}v_{i}-\\sum_{i=0}^{m-1}v_{i}∑ i=m n v i =∑ i=0 n v i −∑ i=0 m−1 v i

只需要预处理一遍，每一次区间查询都只需要查询两个点的值即可，复杂度极低

动态前缀和

当我们需要更新某一个点时，整个前缀和都得更新一次，（除非是在最后面插入一个点），这时候更新复杂度是 o(n)o(n)

阶段前缀和

我们还是回归到有意义的下标——时间。注意到，我们的前缀和是可以按阶段来的。我们定义每一天的前缀和，等于从当月 1 号到这一天的前缀和。而当月最后一天的前缀和，则等于当年 1 月 1 号到这一天的前缀和。而当年最后一天的前缀和，则等于从起始年到这一天的前缀和。整个前缀和就分成了 3 个阶段。

这时候，从起始时间到当前时间的前缀和，等于从起始时间到当前年的前缀和，加上当年 1 月 1 号到这一天的前缀和，再加上当月 1 号到这一天的前缀和。

我们查询区间不再是 2 个点，而是 6 个点。

更新操作，只需要更新年累计值，当年月累计值，当月日累计值即可，更新操作的数量大大降低。

阶段数量为固定数的前缀和

上面的例子用了有意义的时间下标来描述优化更新的办法。通常我们在做题的时候，下标是没有意义的，这时候我们就需要定义一个规则。

设置连续 k 个下标为一个子前缀和，那么我们就得到 n/kn/k 个子前缀和，他们的和形成一个 n/kn/k 的数组，这个数组更新又可以按照这个规则继续分阶段，于是我们又得到 n/k^2n/k
2
个子前缀和，以此类推。每个子前缀和的最后一个节点的值是这个他所在的最大子前缀和的和。

举个例子：

当 k = 3 时，数组 [1,2,3,4,5,6,7,8,9] 的前缀和为：


1
1+2               =3
1+2+3             =6
4
4+5               =9
4+5+6             =15
7
7+8               =15
1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45
10//加入Java开发交流君样：756584822一起吹水聊天

读取：最多读取log_{k}{n}log k

n 个值就可以得到任意一个前缀和
更新：每一轮需要更新log_{k}{n}log k

n 个前缀和，每个前缀和最多需要更新 (k-1)(k−1) 个值，复杂度是 o(log_{k}{n} * (k - 1))o(log k n∗(k−1))

树状数组
特别的，当 k=2k=2 时，就是我们所说的树状数组

假设读取和更新都是均衡随机的，读取和更新的复杂度总和是o(log_{k}{n}+log_{k}{n} * (k - 1))o(log k n+log k n∗(k−1))

当 k=2k=2 时，这个式子计算值最低