Matlab中不定积分和定积分的实现

Posted 2021-06-11 OIqng

MATLAB提供的用于积分运算的函数是int( )（不定积分和定积分）和quad( )（定积分的数值计算），首先学习int( )的用法，int( )可以完成函数的不定积分和定积分运算，它先求出函数的原函数，如果需要求定积分，则在原函数的基础上按牛顿-莱布尼兹公式求定积分的值：

• int(fun) 计算函数fun关于默认变量的不定积分
• int(fun, x) 计算函数fun关于变量x的不定积分
• int(fun, x, a, b) 计算函数fun关于变量x从a到b的定积分

计算不定积分$\int (x^5+x^3-\frac{\sqrt{x}}{4})dx$

使用下面程序实现

clear
syms x
y=x^5+x^3-sqrt(x)/4
int(y,x)
pretty(ans)

效果为

计算定积分${\int }_0^1(\frac{x{e}^x}{(1+x{)}^2})dx$

使用下面程序实现

clear
syms x
y=(x*exp(x))/(1+x)^2;
int(y,x,0,1)

效果为

计算广义积分${\int }_{-2}^{-1}(\frac{1}{x\sqrt{(x^2-1)}})dx$

使用下面程序实现

clear
syms x
int(1/x/sqrt(x*x-1),x,-2,-1)

效果为

计算广义积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }(\frac{1}{(x^2+1)+(x^2+4)})dx$

使用下面程序实现

clear
syms x
int(1/(x*x+1)/(x*x+4),x,-inf,inf)

效果为

并非所有的积分都可以用MATLAB软件通过函数int( )来完成运算，函数int( )完成的是符号运算而不是数值运算，因此，当积分不存在初等形式的原函数时，函数int( )便不能完成积分运算。所以下面将使用quad()进行数值积分计算：
quad(fun,a,b)，其中fun是被积函数，a是积分下限，b是积分上限，fun一般用函数文件来定义

计算定积分${\int }_0^{\pi }(\frac{xsinx}{1+co{s}^{2}x})dx$

首先定义被积函数, 在磁盘上建立一个函数文件f.m, 内容如下：

function y=f(x)
y=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2)

接着，在另一个文件或命令窗口中输入：

I=quad(@f,0,pi

效果为

计算积分${\int }_{-1}^{1}g(x)dx$,其中
$$g(x)=\{\begin{array}{lr}1+x^{2}cosx& x\le 0\\ e^{-x}sinx& x>0\end{array}$$

建立磁盘文件g.m如下：

function y=g(x)
if x<=0
	y=1+x.*x.*cos(x)
else
	y=exp(-x).*sin(x)
end

接着，在另一个文件或命令窗口中输入：

I=quad(@g,-1,0)+quad(@g,0,1)

如果被积函数是一个分段函数，则需要以分段点为界为开积分，否则有可能出现错误