怎么证明三阶行列式是它三个向量张成的六面体的体积，说思路就像

Posted 2023-04-01

平行六面体的体积是底面积乘高
平行四边形的面积是底边乘高
所以思路都是一样的

对于三个向量x,y,z
先把x取成底，算xy面的面积，再算xyz的体积
算面积的时候要把y向x投影求出高，算体积的时候要把z向xy面投影
既然如此，就可以用Gram-Schmidt正交化过程把x,y,z正交化，相应于矩阵就是QR分解
[x,y,z]=QR，Q是正交阵，R是对角元为正数的上三角阵，det([x,y,z])=±det(R)，det(Q)决定了符号
事实上R(1,1),R(2,2),R(3,3)分别就是x、y向x的投影、z向xy的投影的长度，所以det(R)就是体积 参考技术A 设置为（1,0，-1）= K =（1,1,0）+米（0,1,1）
然后1 = K
0 = K + M
-1 = M
所以
（1,0，-1）=（1,1,0） - （0,1,1）
向量（1,0，-1），（1,1,0）和（0,1,1），所示的线性
所以

向量（1,0，-1）和矢量（1,1,0）和（0,1,1）的向量的共面 参考技术B 这个是用座标带入验算出来的，证明很直接，但是过程很繁琐的。
简单的说，给你三个向量，你可以计算出其体积和其坐标的公式
你也可以算出矩阵行列式
两者结果是相等的。

如何用向量证ABCD共面？

B

如果知道空间四点坐标。
方法一：任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面；如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，只需证明第四点到这个平面的距离为0。 参考技术A 证明AB=xAC+yAD即可 参考技术B 如果能够看出其中某个向量是其他两个向量的若干倍之和（线性组合），则它们必定是共面的。好比这个例子中明显能看出第三个向量等于前两个向量的和，因而无须计算行列式也能做出共面的断言。