二叉树及其遍历(Java)

Posted 2021-03-30 阳宁Coder

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什么是二叉树？

二叉树又称 knuth树，是一个由有限节点所组成的集合，此集合可以为空集合，或由一个树根及左右两个子树所组成。

为什么使用二叉树?

树状结构在计算机内存中的存储方式往往以链表为主，对于n元树来说，因为每个节点的分支度都不同，所以为了方便起见，一般就取n为链接个数的最大固定长度，那么每个节点中就包含了一份数据与n个链接。

假设n元树有m个节点，那么这颗树应共享了m*n个链接字段。除了树根之外，每个非空链接都指向一个节点，所以对于m个节点的树，应有m-1个实际链接，则树的空链接个数为 mn-(m-1)=m(n-1)+1，则n元树的链接浪费率为 。根据这个式子我们可以发现，当n=2时，树的链接浪费率最低为 ，因此我们常常使用二叉树结构。

二叉树的节点数

如果一颗二叉树的深度为k，那么它的总结点数应为：

二叉树的存储方式

树状结构在计算机中的存储方式往往以链表为主，这是因为链表的指针用来处理数比较方便，只需改变指针即可。不过也可以使用数组来存储二叉树，两种方法其实都各有利弊。

数组表示法

如果要使用数组来存储二叉树，首先要将二叉树想象成一个满二叉树，，然后依序存放在一维数组中。

比如下面这颗树：

树中的 A,B,C,D代表节点的值，其余的为空节点，它们的位置如图所示，那么如果让它们放进数组，应该是这样的：

索引	1	2	3	4	5	6	7
值	A	B			C		D

建立二叉树需要遵守 小于父节点的值放在左子节点，大于父节点的值放在右子节点的规则，因此左子树的值一定全部小于树根，右子树的值一定大于树根。

下面是一个使用数组存储二叉树的示例：

public class arrayBinaryTree {
    public static void main(String[] args) {
        int i,level;
        int[] data = {6,3,5,9,7,8,4,2}; //  原始数据
        int btree[] = new int[16];      //  二叉树数组大小，长度16是因为使用后15个空间，让索引从1开始，比较好理解
        for (i=0; i<16; i++)
            btree[i] = 0;
        System.out.println("原始数组内容：");
        for (i=0;i<8;i++)
            System.out.print("["+data[i]+"]");
        System.out.println();
        //  将原始数据添加入二叉树
        for (i=0;i<8;i++) {
            for (level=1;btree[level]!=0;) {
                if (data[i]>btree[level])
                    level = level*2+1;
                else
                    level = level*2;
            }
            btree[level] = data[i];
        }
        System.out.println("二叉树：");
        for (i=1;i<16;i++)
            System.out.print("["+btree[i]+"]");
    }
}
OUT:
原始数组内容：
[6][3][5][9][7][8][4][2]
二叉树：
[6][3][9][2][5][7][0][0][0][4][0][0][8][0][0]

链表表示法

使用链表表示法来存储二叉树可以定义 TreeNode和 BinaryTree类，其中前者代表二叉树中的一个节点，后者就代表一棵二叉树。

节点中应包括 存放的数据、左子节点的指针和右子节点的指针。二叉树中应该实现一个方法即将数据插入到二叉树中。

示例如下：

/*
    TreeNode    二叉树节点
 */
class TreeNode {
    int value;
    TreeNode leftNode,rightNode;
    public TreeNode(int value) {
        this.value = value;
        leftNode = null;
        rightNode = null;
    }
}
/*
    BinaryTree  二叉树
 */
class BinaryTree {
    public TreeNode rootNode;
    public BinaryTree(int[] data) {
        for (int i=0;i<data.length;i++)
            Add_Node_To_BinaryTree(data[i]);
    }
    /*
        将节点加入二叉树中
     */
    void Add_Node_To_BinaryTree(int value) {
        TreeNode currentNode = rootNode;
        //  如果根节点为空，先创建根节点
        if (rootNode == null) {
            rootNode = new TreeNode(value);
            return;
        }
        //  循环寻找适合当前节点的位置
        while (true) {
            if (value<currentNode.value) {
                if (currentNode.leftNode == null) {
                    currentNode.leftNode = new TreeNode(value);
                    return;
                }
                else currentNode = currentNode.leftNode;
            }else {
                if (currentNode.rightNode == null) {
                    currentNode.rightNode = new TreeNode(value);
                    return;
                }else currentNode = currentNode.rightNode;
            }
        }
    }
    // 打印各个节点值(中序遍历，即结果从小到大排序)
    void printTree(TreeNode node) {
        if (node != null) {
            printTree(node.leftNode);
            System.out.print("["+node.value+"]");
            printTree(node.rightNode);
        }
    }
}
public class LinkBinaryTree {
    public static void main(String[] args) {
        int[] content = {11, 13, 15, 17, 19, 28, 26, 24, 22, 20};
        BinaryTree binarytree = new BinaryTree(content);
        binarytree.printTree(binarytree.rootNode);
    }
}
OUT:
[11][13][15][17][19][20][22][24][26][28]

如上使用链表来建立了二叉树，并根据 中序遍历的方法打印出了二叉树存储的数据，可以看到数据是从小到大排列的。

二叉树遍历

二叉树的遍历就是将树中的每一个节点各访问一次，然后在遍历完毕后将树中的数据转化为线性关系。

如下一个二叉树节点：

如果想将它遍历，则共有六种遍历方法： ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA，不过既然二叉树满足 左子节点值小于父节点而右子节点值大于父节点关系，那么从左向右遍历和从右向左遍历得到的结果是类似的，只要将结果反转一下就一样了，因此我们可以规定遍历规则为 一律从左向右，那么就剩下三种遍历方式了： BAC,ABC,BCA。

这三种遍历方式就是

• 中序遍历(BAC)：左子树->树根->右子树
• 前序遍历(ABC)：树根->左子树->右子树
• 后序遍历(BCA)：左子树->右子树->树根

其实这三种遍历方式，你只要记住树根的遍历顺序就行了，树根在前就是前序遍历，树根在后就是后序遍历，而左子树一定在右子树之前遍历的。

如下一颗子树：

它的前中后序遍历结果应该是：

ABDECF

DBEACF

DEBFCA

这很简单，大家应该一看就知道如何遍历了。

那么如果我们想要将一棵二叉树的各个节点值遍历出来，在程序中应该怎么实现呢？在链表表示法中我们已经给出了中序遍历的方法，方法中巧妙的运用了递归的方式进行遍历。下面给出前中后序遍历的代码：

    //  前序遍历
    void PreprintTree(TreeNode node) {
        if (node != null) {
            System.out.print("["+node.value+"]");
            PreprintTree(node.leftNode);
            PreprintTree(node.rightNode);
        }
    }
 //  中序遍历
    void MidprintTree(TreeNode node) {
        if (node != null) {
            MidprintTree(node.leftNode);
            System.out.print("["+node.value+"]");
            MidprintTree(node.rightNode);
        }
    }
    //  后序遍历
    void PosprintTree(TreeNode node) {
        if (node != null) {
            PosprintTree(node.leftNode);
            PosprintTree(node.rightNode);
            System.out.print("["+node.value+"]");
        }
    }

 • end • 

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