2021-05-12 子数组异或查询

Posted 2021-06-09 Roam-G

1310. 子数组异或查询

难度中等112

有一个正整数数组 arr，现给你一个对应的查询数组 queries，其中 queries[i] = [Li, Ri]。

对于每个查询 i，请你计算从 Li 到 Ri 的 XOR 值（即 arr[Li] xor arr[Li+1] xor ... xor arr[Ri]）作为本次查询的结果。

并返回一个包含给定查询 queries 所有结果的数组。

 

示例 1：

输入：arr = [1,3,4,8], queries = [[0,1],[1,2],[0,3],[3,3]]
输出：[2,7,14,8] 
解释：
数组中元素的二进制表示形式是：
1 = 0001 
3 = 0011 
4 = 0100 
8 = 1000 
查询的 XOR 值为：
[0,1] = 1 xor 3 = 2 
[1,2] = 3 xor 4 = 7 
[0,3] = 1 xor 3 xor 4 xor 8 = 14 
[3,3] = 8

示例 2：

输入：arr = [4,8,2,10], queries = [[2,3],[1,3],[0,0],[0,3]]
输出：[8,0,4,4]

 

提示：

• 1 <= arr.length <= 3 * 10^4
• 1 <= arr[i] <= 10^9
• 1 <= queries.length <= 3 * 10^4
• queries[i].length == 2
• 0 <= queries[i][0] <= queries[i][1] < arr.length

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方法一：前缀异或
朴素的想法是，对每个查询，计算数组中的对应下标范围内的元素的异或结果。每个查询的计算时间取决于查询对应的下标范围的长度。如果数组 \\textit{arr}arr 的长度为 nn，数组 \\textit{queries}queries 的长度为 mm（即有 mm 个查询），则最坏情况下每个查询都需要 O(n)O(n) 的时间计算结果，总时间复杂度是 O(nm)O(nm)，会超出时间限制，因此必须优化。

由于有 mm 个查询，对于每个查询都要计算结果，因此应该优化每个查询的计算时间。理想情况下，每个查询的计算时间应该为 O(1)O(1)。为了将每个查询的计算时间从 O(n)O(n) 优化到 O(1)O(1)，需要计算数组的前缀异或。

定义长度为 n+1n+1 的数组 \\textit{xors}xors。令 \\textit{xors}[0]=0xors[0]=0，对于 0 \\le i<n0≤i<n，\\textit{xors}[i+1]=\\textit{xors}[i] \\oplus \\textit{arr}[i]xors[i+1]=xors[i]⊕arr[i]，其中 \\oplus⊕ 是异或运算符。当 1 \\le i \\le n1≤i≤n 时，\\textit{xors}[i]xors[i] 为从 \\textit{arr}[0]arr[0] 到 \\textit{arr}[i-1]arr[i−1] 的元素的异或运算结果：

\\textit{xors}[i]=\\textit{arr}[0] \\oplus \\ldots \\oplus \\textit{arr}[i-1]
xors[i]=arr[0]⊕…⊕arr[i−1]

对于查询 [\\textit{left},\\textit{right}](\\textit{left} \\le \\textit{right})[left,right](left≤right)，用 Q(\\textit{left},\\textit{right})Q(left,right) 表示该查询的结果。

当 \\textit{left}=0left=0 时，Q(\\textit{left},\\textit{right})=\\textit{xors}[\\textit{right}+1]Q(left,right)=xors[right+1]。

当 \\textit{left}>0left>0 时，Q(\\textit{left},\\textit{right})Q(left,right) 的计算如下：

\\begin{aligned} & \\quad ~ Q(\\textit{left},\\textit{right}) \\\\ &= \\textit{arr}[\\textit{left}] \\oplus \\ldots \\oplus \\textit{arr}[\\textit{right}] \\\\ &= (\\textit{arr}[0] \\oplus \\ldots \\oplus \\textit{arr}[\\textit{left}-1]) \\oplus (\\textit{arr}[0] \\oplus \\ldots \\oplus \\textit{arr}[\\textit{left}-1]) \\oplus (\\textit{arr}[\\textit{left}] \\oplus \\ldots \\oplus \\textit{arr}[\\textit{right}]) \\\\ &= (\\textit{arr}[0] \\oplus \\ldots \\oplus \\textit{arr}[\\textit{left}-1]) \\oplus (\\textit{arr}[0] \\oplus \\ldots \\oplus \\textit{arr}[\\textit{right}]) \\\\ &= \\textit{xors}[\\textit{left}] \\oplus \\textit{xors}[\\textit{right}+1] \\end{aligned}
​    
  
 Q(left,right)
=arr[left]⊕…⊕arr[right]
=(arr[0]⊕…⊕arr[left−1])⊕(arr[0]⊕…⊕arr[left−1])⊕(arr[left]⊕…⊕arr[right])
=(arr[0]⊕…⊕arr[left−1])⊕(arr[0]⊕…⊕arr[right])
=xors[left]⊕xors[right+1]
​    
 

上述计算用到了异或运算的结合律，以及异或运算的性质 x \\oplus x=0x⊕x=0。

当 \\textit{left}=0left=0 时，\\textit{xors}[\\textit{left}]=0xors[left]=0，因此 Q(\\textit{left},\\textit{right})=\\textit{xors}[\\textit{left}] \\oplus \\textit{xors}[\\textit{right}+1]Q(left,right)=xors[left]⊕xors[right+1] 也成立。

因此对任意 0 \\le \\textit{left} \\le \\textit{right}<n0≤left≤right<n，都有 Q(\\textit{left},\\textit{right})=\\textit{xors}[\\textit{left}] \\oplus \\textit{xors}[\\textit{right}+1]Q(left,right)=xors[left]⊕xors[right+1]，即可在 O(1)O(1) 的时间内完成一个查询的计算。

根据上述分析，这道题可以分两步求解。

计算前缀异或数组 \\textit{xors}xors；

计算每个查询的结果，第 ii 个查询的结果为 \\textit{xors}[\\textit{queries}[i][0]] \\oplus \\textit{xors}[\\textit{queries}[i][1]+1]xors[queries[i][0]]⊕xors[queries[i][1]+1]。

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/xor-queries-of-a-subarray/solution/zi-shu-zu-yi-huo-cha-xun-by-leetcode-solution/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

java

class Solution {
    public int[] xorQueries(int[] arr, int[][] queries) {
        int n = arr.length;
        int[] xors = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            xors[i + 1] = xors[i] ^ arr[i];
        }
        int m = queries.length;
        int[] ans = new int[m];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            ans[i] = xors[queries[i][0]] ^ xors[queries[i][1] + 1];
        }
        return ans;
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/xor-queries-of-a-subarray/solution/zi-shu-zu-yi-huo-cha-xun-by-leetcode-solution/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

C++

class Solution {
public:
    vector<int> xorQueries(vector<int>& arr, vector<vector<int>>& queries) {
        int n = arr.size();
        vector<int> xors(n + 1);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            xors[i + 1] = xors[i] ^ arr[i];
        }
        int m = queries.size();
        vector<int> ans(m);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            ans[i] = xors[queries[i][0]] ^ xors[queries[i][1] + 1];
        }
        return ans;
    }
};

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/xor-queries-of-a-subarray/solution/zi-shu-zu-yi-huo-cha-xun-by-leetcode-solution/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。