从抛硬币试验看随机游走定义的基本概念错误

Posted 2021-06-09 数据与算法之美

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随机游走（Random Walk）是《随机过程》教科书中用于描述动态随机现象的一种基本随机过程，许多重要的随机过程都可由它派生出来，其理论不仅在随机过程中占有相当重要的地位，而且也是自然科学、工程技术和社会科学研究动态随机现象的重要数学工具。

液体中悬浮微粒的布朗运动、光纤陀螺中的随机游走误差和股票市场中的价格波动等随机现象均可用随机游走过程进行描述。

抛硬币试验概率分析

概率定义：在相同条件下重复进行n次试验，其中事件A发生的次数为nA，如果随着试验次数n的增多，事件A发生的频率nA/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

概率是用来描述随机试验次数n充分大时的统计参数。对于抛硬币试验，我们虽然无法预测下一次硬币是正面还是反面，但是我们知道当试验次数n足够大时，硬币正、反面出现的概率均为0.5，试验结果会呈现出正面反面各一半的统计分布规律。

      

图1抛硬币试验

用概率描述抛硬币试验的统计规律时有一先决条件：抛硬币试验的次数n要充分大！

如果用概率来描述n=1时的抛硬币试验结果，则意味着如果只抛掷一次硬币，会同时出现正、反面向上的荒谬结果。

但是，《随机过程》教课书恰恰就用概率来描述抛硬币试验中每一次抛出硬币的结果，并由此来定义随机游走，从而推导出了一系列与事实不符的性质和结论。

随机游走定义

连续抛投均匀硬币，记录结果：

ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn

设ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn独立同分布（i.i.d.），P（ξi =1）= P（ξi =-1）=1/2，定义

Sn=ξ1+ξ2+ξ3+……+ξn

为简单随机游走。

图2 随机游走定义

抛硬币试验概率计算

连续抛投均匀硬币，记录结果：

ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn

上述n个随机试验结果虽然事前无法预测，但是事后就是n个确定的随机试验样本值，即一组时间序列。

ξi的取值不是为1，就是为-1，不可能同时取值1和-1，因此第i次试验结果ξi是次数i的函数，图3给出了某次抛硬币试验结果ξi的函数图像。

图3 抛硬币试验结果函数图像

假设在n次抛硬币试验结果中正面和反面出现的次数分别为nH和nT，根据概率定义，正、反面出现的概率分别为

随机游走定义概念错误

根据上述对抛硬币试验概率的概念分析和计算方法可以看出，《随机过程》教课书中的随机游走定义出现了下面两个严重的基本概念错误：

（1）用概率p和q来描述抛硬币试验中每一次抛出硬币后正、反面出现的可能性；

（2）抛硬币试验结果ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn是n个确定的样本值，第i次试验结果ξi是次数i的函数，随机游走定义将n个确定的随机试验样本值假设为n个独立同分布随机变量。

如果将随机试验样本值ξi假设为随机变量，则ξi={1，-1}，P（ξi =1）= P（ξi =-1）=1/2，表明每次抛硬币都会同时出现正面向上和反面向上的试验结果。

重新定义随机游走

连续抛投均匀硬币，记录结果：

ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn

上述n个随机试验结果虽然事前无法预测，但是当试验次数n足够大时，硬币正面出现的概率p和反面出现的概率q均为0.5，可由此计算出抛硬币试验结果的算数平均值为

式中算数平均值m的物理意义为时间序列ξ1，ξ2，……，ξn中的直流分量。

由于每次抛硬币都是独立的，因此可直接得出抛硬币试验结果时间序列的自相关函数为

式中δ(k)为单位冲击序列，表明仅在k=0 时，ξi才具有相关性，只要不是同一次抛出，试验结果就互不相关。

由维纳-欣钦定理，可得时间序列ξ1，ξ2，……，ξn的功率谱密度

Sξ(ω)=1

因此，连续抛硬币试验结果ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn实际上是一个平均功率为1的白噪声序列（图3），可给出正确的随机游走定义。

定义：设ξ1，ξ2，……，ξn为平均功率为1的白噪声序列，则称

Sn=ξ1+ξ2+ξ3+……+ξn

为简单随机游走。

 

写在最后

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作者简介

高宏，毕业于清华大学精密仪器系，分别获工学学士、硕士和博士学位，留校任教从事测试信号分析与处理的教学与科研工作，现任紫光股份有限公司CTO，北京市科协委员。

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