如何通过二叉树对标的资产有现金流的美式期权估值

Posted 2021-06-08 维托呓语

在CFA二级的原版书上其实早就有相关的内容。秉承着对于考生的认真负责的态度，认为还是很有必要把这部分内容进行一次梳理。闲话少叙，展开正题。

我们在CFA二级中学过利用二阶段的股票二叉树（注意：股票二叉树和利率二叉树的构建假设不太一样）对欧式和美式期权来进行估值。那么如果我们遇到标的资产在期权存续期内产生了现金流，比如：股票在期权存续期内发行了股利，那么对期权的价值产生什么影响？我们又如何进行估值呢？

为了便于解决问题，首先对期权、标的资产、二叉树等作出如下三个假设：

• 二叉树为两阶段，每一个阶段的间隔时间为一年；

• 期权的标的资产是某只股票，并且在一年后会发放股利；

• 二叉树上涨和下跌的概率均为0.5。

在以上两个假设基础上，通过一个具体的例子来介绍估值的整个流程。

• 考虑一个两年期的美式看涨期权，行权价格X=95；

• 其标的资产是一只股票，目前价格S₀=100；在一年后会支付股利Dividend=3；（注意：该笔股利是目前已知的，如果是未知股利，那么需要调整行权价。）

• 市场上的无风险利率r_f=1%

• 二叉树的上涨幅度u=1.224，下跌幅度d=0.796

求：该美式期权的价值

关键问题

我们知道，如果公司发放股利，那么股票价格就会下降，而股价的下降会直接影响期权的价值。因此，我们试图要解决两大问题：

1）二叉树上的股票价格如何计算；

2）该美式期权是否会提前行权。

解题过程

1. 股票二叉树构建如下：

2. 二叉树上股票价格的计算：如果该股票没有股利的情况下， S₊=S₀×u=100×1.224=122.4。但是由于在一年后会有3元的股利，那么一时间点的S₊和S_-都不能按照这样的方法直接计算了。有如下两种方法可供选择：

方法一：标的资产股票在第一年年末会有3元的股利，即Div₁=3，折现到0时刻：

Div₀= Div₁/(1+1%)=3/(1+1%)=2.970297；

在0时刻，未考虑股利的股票价格是100元。那么，在考虑了股利之后的价格为

S₀^’  =100- Div₀=100-2.970297=97.029703，

然后用S₊= S₀^’ × u=97.029703×1.224

               =118.7644；

方法二：直接用S₊=S₀×u=100×1.224=122.4，然后再减去3元的股利得出S₊。 

以上两种方法哪一种是正确的呢？

答案是方法一。原因很简单：这笔股利是在0时刻就已经是已知的，所以对股价产生了影响。因此就不能用方法二。

因此，我们就可以把二叉树上的股票价格计算出来。如下图所示：

3. 接下来我们就需要根据股票价格来确定看涨期权在各个二叉树节点上的期权价值。

该问题的核心便是在第一年年末的时候是否会提前行权。

1) 如果不提前行权，也就意味着拿不到3元的股利。那么C₊和C_-就用第二年的期权价值C₊₊和C_--按无风险利率折现到1时刻。即：

C₊₊ = max [0, S₊₊-X] =50.3676

C_+- = max [0, S_+--X] =0

C_-- = max [0, S_---X] =0

折现到1时刻：

C₊ =(0.5×C₊₊＋0.5× C_+-)/(1＋1%)=24.9344

C_- =(0.5×C_+-＋0.5× C_--)/(1＋1%)=0

2) 如果提前行权，也就意味着可以拿到股利，同时用1时刻的股票价格作为计算期权价值的基础。即：

  C₊^’ = max[0, S₊-X] = 23.7644

  C_-^’ = max[0, S_--X] = 0

最重要的一步！由于在1时刻会有股利，因此，必须要把股利加上。即：

1时刻上方的call option价值总和=23.7644+3=26.7644；

1时刻下方由于不行权，所以价值总和依然是0。 

二叉树如下图所示：

到这里为止，我们已经把之前提到的两个最大的障碍扫除。接下来就是最简单的折现了。我们在提前行权和不提前行权中选取价值较高的。在这个例子中：提前行权产生的价值高于不提前行权。因此0时刻的看涨期权的价值为：

C₀ =(0.5×C₊＋0.5×C_-)/(1+1%)

     =(0.5×26.7644＋0)/(1+1%)

     =13.2497