Leetcode198. 打家劫舍(经典动态规划+优化)

Posted 2021-06-07 ！0 ！

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/house-robber/

解题思路

这是一道非常经典的动态规划问题。动态规划的题一般都是找到边界条件和状态转移方程。我们先来找一下规律，如果只有一家，则直接选择这一家。如果有两家，则选择其中金额大的一家。接下来就是关键了，如果有i（i > 2）家，如果选择第i家，那么只能选择第i-2家之前的最高总金额，否则选择不偷第i家，那么只能选择第i-1家之前的最高总金额。
所以我们用dp[i]表示前i家能偷的最高总金额，状态转移方程就是：

$$dp[i]=\{\begin{array}{rlr}& nums[0]& \text{(i=0)}\\ & max(nums[0],nums[1])& \text{(i=1)}\\ & max(dp[i-2]+nums[i],dp[i-1])& \text{(i > 1)}\end{array}$$

代码

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if(n == 1)  //特判
            return nums[0];
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = nums[0];    //只有一家时
        dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]); //有两家时
        for(int i = 2; i < n; i++)  //找出前i家能投的最高总金额
            dp[i] = Math.max(nums[i] + dp[i - 2], dp[i - 1]);
        return dp[n - 1];   
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

优化

我们可以发现，dp[i]之和dp[i - 1] 和 dp[i - 2]有关，所以我们可以用两个变量记录前面两个状态，从而对空间进行优化。

代码

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if (n == 1) 
            return nums[0];
        int f = nums[0], s = Math.max(nums[0], nums[1]);
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            int t = s;
            s = Math.max(f + nums[i], s);
            f = t;
        }
        return s;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)