高等数学，如何快速判断f（x）能否展开成x的幂级数？

Posted 2023-03-31

比方说f（x）=x²/1-x²

参考技术A 只要f(x)的n阶导数存在即可，但具体的情况得作具体分析。所给例子可以通过比较 1/（1-x) = 1 + x + x^2 +.. + x^n, n -> oo 的展开得到。
x^2/(1-x^2) = x^2[1+x^2+x^4+...+x^(2n)] = x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^(2n+2), n -> oo.
收敛区域：-1 < x < 1本回答被提问者采纳 参考技术B 一般都能展成 x 的幂级数， 只是收敛域不同。
f(x) = x²/(1-x²) = -(1-x^2-1)/(1-x^2) = -1+1/(1-x^2)
= -1+∑<n=0,∞>x^(2n), (-1 < x < -1) 参考技术C 以先求导再展开最后逐项积分，也可以先展开再合并，下面采用后者 f(x)=(1/4)ln[(1+x)/(1-x)]+(1/2)arctanx- 参考技术D 1/(1-x) =1+x+x^2+...
1/(1+x) =1-x+x^2+.....+(-1)^n.x^n +...
f（x）
=x^2/(1-x^2)
=-1 + 1/(1-x^2)
=-1+(1/2) [1/(1-x) +1/(1+x) ]
=-1 + ( 1+x^2+x^4+....+x^(2n)+....) 第5个回答  2021-11-01 伯努利数是伯努利在做等幂和的时候定义的，之后又是如何被定义到上述的幂级数展开式的呢？

实数域上函数的幂级数展开式表

全部内容在《数学手册》, 内容暂时不全, 因要考试, 故暂时只先整理可能用得到的, 等考完试再把全部公式补上

首先回顾一下泰勒展开式: 设函数 (f(x)) 在 (x_0) 的某个邻域 (O(x_0, r)) 中能展开幂级数, 则它的幂级数展开就是 (f(x)) 在 (x_0) 的 (Taylor) 级数：

[f(x) = sum_{0}^{infty}displaystyle frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n, quad x in O(x_0, r). ]

另外就是一些基本的幂级数展开式:

[1. f(x) = e^x = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + ...... frac{x^n}{n!} + ..., quad x in (-infty, +infty) ]