非参数分析-符号秩和检验法
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了非参数分析-符号秩和检验法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
如果随机变量 X X X 的密度函数 f ( x ) f(x) f(x) 是偶函数,则 X X X 的分布关于原点 0 对称. 关于原点0 对称的分布满足条件:对任意的实数 a > 0 a>0 a>0,都有 P ( X > a ) = P ( X < − a ) P(X>a)=P(X<-a) P(X>a)=P(X<−a). 如果 f ( x ) f(x) f(x) 是密度函数,不难证明 f ( x − θ ) f(x-\\theta) f(x−θ) 也是密度函数. 所以在密度函数 f ( x ) f(x) f(x) 为偶函数时 f ( x − θ ) f(x-\\theta) f(x−θ) 是关于点 θ \\theta θ 对称的密度函数. 如果随机变量 X X X 的密度函数关于点 θ \\theta θ 对称, 则 X X X 的分布关于点 θ \\theta θ 对称. 关于点 θ \\theta θ 对称的分布满足条件: 对任意的实数 a > 0 a>0 a>0,都有 P ( X > θ + a ) = P ( X < θ − a ) . P(X>\\theta+a)=P(X<\\theta-a) . P(X>θ+a)=P(X<θ−a). 本节 讨论对称中心 θ \\theta θ 的检验问题.
对称中心为原点的检验问题
上一节我们将成对数据的比较问题归结为对称中心
θ
\\theta
θ 是否为原点 0 的检验问题. 这个检验问题的一般提法如下.假设样本
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}
x1,x2,⋯,xn 独立同分布，总体
X
X
X 服从连续型分布,且
X
X
X 的分布关于点
θ
\\theta
θ 对称, 其密度函数为
f
(
x
−
θ
)
,
f
(
f(x-\\theta), f(
f(x−θ),f( ・
)
)
) 是偶 函数. 我们假设总体服从连续型分布只是为了理论讨论的方便,在实际应用时不必拘泥于这个假设是否成立,对于离散型分布也可以使用符号秩和检验方法. 对称中心
θ
\\theta
θ 是否为原点 0 的检验问题的原假设和备择假设有三种情况. 它们的原假设
H
0
H_{0}
H0 都是对称中心
θ
\\theta
θ 为原点, 即
θ
=
0
,
\\theta=0,
θ=0, 而备择假设
H
1
H_{1}
H1 分别是
θ
>
0
,
θ
<
0
\\theta>0, \\theta<0
θ>0,θ<0 和
θ
≠
0.
\\theta \\neq 0 .
θ=0. 显然，若
X
X
X 的分布关于点
θ
\\theta
θ 对称,则
X
X
X 的均值和中位数相同,都等于
θ
.
\\theta .
θ. 所以对称中心
θ
\\theta
θ 是否为原点的检验问题,可以转化为中位数
θ
\\theta
θ 是否等于 0 的检验问题. 因此符号检验可用于对称中心
θ
\\theta
θ 是否为原点的检验问题.但符号检验并没有充分运用分布是对称分布的信息, 它并不能有效地解决对称中心
θ
\\theta
θ 是否为原
点的检验问题. 符号秩和检验方法作为符号检验的改进,它能有效地解决对称中心
θ
\\theta
θ 是否为原点的检验问题.
关于对称中心
θ
\\theta
θ 是否为原点的检验问题,符号检验统计量为 以上是关于非参数分析-符号秩和检验法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
S
+
=
∑
i
=
1
n
u
i
,
u
i
=
{
1
,
x
i
>
0
,
0
,
否则
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
.
S^{+}=\\sum_{i=1}^{n} u_{i}, u_{i}=\\left\\{\\begin{array}{ll} 1, & x_{i}>0, \\\\ 0, & \\text { 否则 }, \\end{array} \\quad i=1,2, \\cdots, n .\\right.
S+=i=1∑nui,ui={1,0,xi>0, 否则 ,i=1,2,⋯,n.
显然
,
S
+
, S^{+}
,S+ 仅使用了样本数据是正数还是负数的信息,而没有使用样本数据的值有多大或多小的信息. 符号秩和检验方法之所以是符号检验的改进,就因为它还用到了样本数据值的大小的信息. 首先将样本的绝对值
∣
x
1
∣
,
∣
x
2
∣
,
⋯
,
∣
x
n
∣
\\left|x_{1}\\right|,\\left|x_{2}\\right|, \\cdots,\\left|x_{n}\\right|
∣x1∣,∣x2∣,⋯,∣xn∣ 按由小到大的次序排列. 由于总体服从连续型分布,不妨假设样本
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}
x1,x2,⋯,xn 互不相等,都不等于
0
,
0,
0, 且样本的绝对值
∣
x
1
∣
,
∣
x
2
∣
,
⋯
,
∣
x
n
∣
\\left|x_{1}\\right|,\\left|x_{2}\\right|, \\cdots,\\left|x_{n}\\right|
∣x1∣,∣x2∣,⋯,∣xn∣ 也互不相等. 为此我们假设
∣
x
1
∣
,
∣
x
2
∣
,
⋯
,
∣
x
n
∣
\\left|x_{1}\\right|,\\left|x_{2}\\right|, \\cdots,\\left|x_{n}\\right|
∣x1∣,∣x2∣,⋯,∣xn∣ 由小到大排列成
z
(
1
)
<
z
(
2
)
<
⋯
<
z
(
n
)
.
z_{(1)}<z_{(2)}<\\cdots<z_{(n)} .
z(1)<z(2)<⋯<z(n). 若
∣
x
i
∣
=
z
(
R
i
)
,
\\left|x_{i}\\right|=z_{\\left(R_{i}\\right)},
∣xi∣=z(Ri), 则称
∣
x
i
∣
\\left|x_{i}\\right|
∣xi∣ 的秩为
R
i
,
R
i