欧式空间03——正交变换
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了欧式空间03——正交变换相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
正交变换
约定 : V : V :V 是 n n n 维欧氏空间.
正交变换: 线性变换 A \\mathcal{A} A 满足 ( A α , A β ) = ( α , β ) , ∀ α , β ∈ V . (\\mathcal{A} \\alpha, \\mathcal{A} \\beta)=(\\alpha, \\beta), \\forall \\alpha, \\beta \\in V . (Aα,Aβ)=(α,β),∀α,β∈V. 即保持内积的线性变换. 称 A \\mathcal{A} A 为欧氏空间 V V V一个正交变换
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }} 定理1. 设 A \\mathcal{A} A 是 V V V 上的线性变换,则如下条件等价：
(1) A \\mathcal{A} A 是正交变换,即 ( A α , A β ) = ( α , β ) , ∀ α , β ∈ V (\\mathcal{A} \\alpha, \\mathcal{A} \\beta)=(\\alpha, \\beta), \\forall \\alpha, \\beta \\in V (Aα,Aβ)=(α,β),∀α,β∈V;
(2) A \\mathcal{A} A 保持长度, 即 ∥ A α ∥ = ∥ α ∥ , ∀ α ∈ V \\|\\mathcal{A} \\alpha\\|=\\|\\alpha\\|, \\forall \\alpha \\in V ∥Aα∥=∥α∥,∀α∈V;
(3) A \\mathcal{A} A 保持任一标准正交基, 即, 如果 α 1 , ⋯ , α n \\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n} α1,⋯,αn 是标准正交基,那么 A α 1 , ⋯ , A α n \\mathcal{A} \\alpha_{1}, \\cdots, \\mathcal{A} \\alpha_{n} Aα1,⋯,Aαn 也是标准正交基;
(4) A \\mathcal{A} A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
(5) A \\mathcal{A} A 在某组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
(6) A \\mathcal{A} A 保持某组标准正交基.
(7)
A
\\mathcal{A}
A 保持向量间的距离不变，即
d
(
A
(
α
)
,
A
(
β
)
)
=
d
(
α
,
β
)
,
∀
α
,
β
∈
V
\\boldsymbol{d}(\\mathcal{A}(\\alpha), \\mathcal{A}(\\beta))=\\boldsymbol{d}(\\alpha, \\beta), \\quad \\forall \\alpha, \\beta \\in V
d(A(α),A(β))=d(α,β),∀α,β∈V
证明:
(
1
)
⇒
(
2
)
∀
α
∈
V
,
∥
A
α
∥
2
=
(
A
α
,
A
α
)
=
(
α
,
α
)
=
∥
α
∥
2
⇒
∥
A
α
∥
=
∥
α
∥
(1) \\Rightarrow(2) \\forall \\alpha \\in V, \\quad\\|\\mathcal{A} \\alpha\\|^{2}=(\\mathcal{A} \\alpha, \\mathcal{A} \\alpha)=(\\alpha, \\alpha)=\\|\\alpha\\|^{2} \\Rightarrow\\|\\mathcal{A} \\alpha\\|=\\|\\alpha\\|
(1)⇒(2)∀α∈V,∥Aα∥2=(Aα,Aα)=(α,α)=∥α∥2⇒∥Aα∥=∥α∥
(
2
)
⇒
(
1
)
∀
α
,
β
∈
V
(2) \\Rightarrow(1) \\forall \\alpha, \\beta \\in V
(2)⇒(1)∀α,β∈V,
∥
A
α
∥
=
∥
α
∥
,
∥
A
β
∥
=
∥
β
∥
⇒
(
A
α
,
A
α
)
=
(
α
,
α
)
,
(
A
β
,
A
β
)
=
(
β
,
β
)
\\|\\mathcal{A} \\alpha\\|=\\|\\alpha\\|,\\|\\mathcal{A} \\beta\\|=\\|\\beta\\| \\Rightarrow(\\mathcal{A} \\alpha, \\mathcal{A} \\alpha)=(\\alpha, \\alpha),(\\mathcal{A} \\beta, \\mathcal{A} \\beta)=(\\beta, \\beta)
∥Aα∥=∥α∥,∥Aβ∥=∥β∥⇒(Aα,Aα)=(α,α),(Aβ,Aβ)=(β,β)
所以：
(
A
α
+
A
β
,
A
α
+
A
β
)
=
∥
A
(
α
+
β
)
∥
2
=
∥
α
+
β
∥
2
=
(
α
+
β
,
α
+
β
)
=
∥
α
∥
2
+
∥
β
∥
2
+
2
(
α
,
β
)
又
因
为
(
A
α
+
A
β
,
A
α
+
A
β
)
=
∥
A
α
∥
2
+
∥
A
β
∥
2
+
2
(
A
α
,
A
β
)
(\\mathcal{A} \\alpha+\\mathcal{A} \\beta, \\mathcal{A} \\alpha+\\mathcal{A} \\beta)=\\|\\mathcal{A}(\\alpha+\\beta)\\|^{2}=\\|\\alpha+\\beta\\|^{2}=(\\alpha+\\beta, \\alpha+\\beta)\\\\ =\\|\\alpha\\|^{2}+\\|\\beta\\|^{2}+2(\\alpha, \\beta)\\\\ 又因为(\\mathcal{A} \\alpha+\\mathcal{A} \\beta, \\mathcal{A} \\alpha+\\mathcal{A} \\beta) =\\|\\mathcal{A} \\alpha\\|^{2}+\\|\\mathcal{A} \\beta\\|^{2}+2(\\mathcal{A} \\alpha, \\mathcal{A} \\beta)
(Aα+Aβ,Aα+Aβ)=∥A(α+β)∥2=∥α+β∥2=(α+β,α+β)=∥α∥2+∥β∥2+2(α,β)又因为(Aα+Aβ,Aα+Aβ)=∥Aα∥2+∥Aβ∥2+2(Aα,Aβ)
⇒
(
A
α
,
A
β
)
=
(
α
,
β
)
\\Rightarrow(\\mathcal{A} \\alpha, \\mathcal{A} \\beta)=(\\alpha, \\beta)
⇒(Aα,Aβ)=(α,β)
(
1
)
⇒
(
3
)
：
α
1
,
⋯
,
α
n
(1) \\Rightarrow(3) ：\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}
(1)⇒(3)：α1,⋯,αn 是标准正交基
⇒
(
α
i
,
α
j
)
=
δ
i
j
\\Rightarrow\\left(\\alpha_{i}, \\alpha_{j}\\right)=\\delta_{i j}
⇒(αi,αj)=δij
⇒
(
A
α
i
,
A
α
j
)
=
(
α
i
,
α
j
)
=
δ
i
j
⇒
A
α
1
,
⋯
,
A
α
n
\\Rightarrow\\left(\\mathcal{A} \\alpha_{i}, \\mathcal{A} \\alpha_{j}\\right)=\\left(\\alpha_{i}, \\alpha_{j}\\right)=\\delta_{i j} \\Rightarrow \\mathcal{A} \\alpha_{1}, \\cdots, \\mathcal{A} \\alpha_{n}
⇒(Aαi,Aαj)=(αi,αj)=δ线性代数与解析几何——Part4 欧式空间 & 酉空间