特征03——最小多项式的概念和性质

Posted 2021-06-07 炫云云

文章目录

• • 最小多项式的概念和性质
  • 最小多项式的计算
  • 广义特征子空间分解
  • 参考

1. 特征01——特征值、特征向量和矩阵的迹
2. 特征02——相似对角化与方幂
3. 特征03——最小多项式的概念和性质

最小多项式的概念和性质

约定: $A\in {\mathbf{F}}^{n\times n},\mathcal{A},\mathcal{B}:\mathbf{n}$ 维 $\mathbf{F}-$ 空间 $V$ 上的线性变换

$\boxed{定义1}$ 设 $\mathbf{A}\in {\mathbf{F}}^{n\times n},0\ne \mathbf{f}(\lambda )={\mathbf{a}}_s{\lambda }^s+{\mathbf{a}}_{s-1}{\lambda }^{s-1}+\cdots +{\mathbf{a}}_0\in \mathbf{F}[\lambda ]$, 若成立 $\mathbf{f}(\mathbf{A})={\mathbf{a}}_{\mathbf{s}}{\mathbf{A}}^{\mathbf{s}}+{\mathbf{a}}_{s-1}{A}^{s-1}+\cdots +{\mathbf{a}}_0\mathbf{E}=0$,

则称 A适合多项式 $f(\lambda )$, 或称 $\mathbf{f}(\lambda )$ 是 $A$ 的零化多项式.

$\boxed{定理1}$Hamilton-Cayley定理

设 $A$ 是数域F上 $n$ 阶方阵,${\mathbf{f}}_A(\lambda )$ 是 $A$ 的特征多项式, $f_A(\lambda )=|\lambda I-A|$，则 ${\mathbf{f}}_A(\mathbf{A})=\mathbf{O}.$

$A(\mathcal{A})$ 的零化多项式: $f(\lambda )\in F[\lambda ]$ 使得 $f(A)=O(f(\mathcal{A})=\mathcal{O})$

$\boxed{定义1}$ 最小多项式:$A$次数最小的首 1 零化多项式称为$A$ 的极小多项式

$例1$. (1) 数量阵 $a{I}_n$ 的特征多项式为 $(\lambda -a{)}^n$, 最小多项式为 $\lambda -a$.

(2)任一 $n$ 阶方阵 $A$ 都有一个零化多项式 :特征多项式

设 $A=\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, 则 $f(\lambda )={\lambda }^2-2\lambda +1$ 是 $A$ 的零化多项式.

$\boxed{命题1}$ 对数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$, 总存在 $F$ 上多项式 $f(\lambda )$, 使得 $\mathbf{f}(\mathbf{A})=0$.

证明 :由于 $\dim F^{n\times n}={\mathbf{n}}^2.$ 所以 $\mathbf{E},\mathbf{A},{\mathbf{A}}^2,\cdots ,{\mathbf{A}}^{n^2}$线性相关, 从而存在 $F$ 上不全为零的数 $a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_{nt}$, 使得 ${\mathbf{a}}_0\mathbf{E}+{\mathbf{a}}_1\mathbf{A}+{\mathbf{a}}_2{\mathbf{A}}^2+以上是关于特征03——最小多项式的概念和性质的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

矩阵的迹相关性质

《数值分析》-- 正交多项式

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学习笔记多项式全家桶（包含全套证明）

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多项式08——多元多项式和对称多项式