线性映射02—— 线性映射概念与运算
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性映射02—— 线性映射概念与运算相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
- 线性映射01——映射的概念和性质
- 线性映射02—— 线性映射概念与运算
- 线性映射03——线性空间的同构
- 线性映射04——像与核
- 线性映射05——代数与代数同构
- 线性映射06——线性变换
- 线性映射07——线性变换的矩阵表示
- 线性映射08——不变子空间
- 线性映射9——对偶空间
线性映射概念
定
义
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }}
定义1 设
V
,
U
V, \\boldsymbol{U}
V,U 是数域
F
\\boldsymbol{F}
F 上线性空间, 映射
φ
:
V
→
U
\\varphi: \\boldsymbol{V} \\rightarrow \\boldsymbol{U}
φ:V→U , 满足
(1) 对于任意的
α
,
β
∈
V
,
\\alpha, \\beta \\in V,
α,β∈V, 有
φ
(
α
+
β
)
=
φ
(
α
)
+
φ
(
β
)
\\varphi(\\alpha+\\beta)=\\varphi(\\alpha)+\\varphi(\\beta)
φ(α+β)=φ(α)+φ(β)
(2) 对于任意的
c
∈
F
,
α
∈
V
,
c \\in F, \\alpha \\in V,
c∈F,α∈V, 有
φ
(
c
α
)
=
c
φ
(
α
)
\\varphi(c \\alpha)=c \\varphi(\\alpha)
φ(cα)=cφ(α)
称
φ
\\varphi
φ 是从
V
\\boldsymbol{V}
V 到
U
\\boldsymbol{U}
U 的
线
性
映
射
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{线性映射}}}
线性映射. 线性空间之间保持线性运算的映射是为线性映射.
当 V = U V=U V=U 时，称 φ \\varphi φ 为 线 性 变 换 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{线性变换}}} 线性变换. 当 U = F U=F U=F 时: 称 φ \\varphi φ 为 V V V 上的线性函数.
例 1 \\Large\\color{violet}{例1} 例1 (1) 设 A A A 是 m × n m \\times n m×n 矩阵, φ A : F n → F m , X ↦ A X \\varphi_{A}: F^{n} \\rightarrow F^{m}, X \\mapsto A X φA:Fn→Fm,X↦AX是线性映射;
(2) 映射 0 : V → U , α ↦ 0 , 0: V \\rightarrow U, \\alpha \\mapsto 0, 0:V→U,α↦0, 是线性映射. 称为 零 映 射 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{零映射}}} 零映射;
(3) 恒 等 变 换 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{恒等变换 }}} 恒等变换 i d V : V → V , α ↦ α , i d_{V}: V \\rightarrow V, \\alpha \\mapsto \\alpha, idV:V→V,α↦α, 是线性变换
(4) 设 0 ≠ c ∈ F , 0 \\neq c \\in F, 0=c∈F, 映射 c i d V : V → V , α ↦ c α , c ~i d_{V}: V \\rightarrow V, \\alpha \\mapsto c \\alpha, c idV:V→V,α↦cα, 是线性变换, 称为 数 乘 变 换 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{数乘变换}}} 数乘变换.
(5) 零变换 O : = O := O:= 0 i d V 0 ~i d_{V} 0 idV
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }} 定理1 迹函数 Tr : F n × n → F , A ↦ Tr ( A ) = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n , ∀ A = ( a i j ) ∈ F n × n \\operatorname{Tr}: \\boldsymbol{F}^{n \\times n} \\rightarrow \\boldsymbol{F}, A \\mapsto \\operatorname{Tr}(\\boldsymbol{A})=\\boldsymbol{a}_{11}+\\boldsymbol{a}_{22}+\\cdots+\\boldsymbol{a}_{n n}, \\forall \\boldsymbol{A}=\\left(\\boldsymbol{a}_{i j}\\right) \\in \\boldsymbol{F}^{n \\times n} Tr:Fn×n→F,A↦Tr(A)=a11+a22+⋯+ann,∀A=(aij)∈Fn×n,是 V 1 = F n × n V_{1}=F^{n \\times n} V1=Fn×n 上的一个线性函数.
【证明】: ∀ A = ( a i j ) , B = ( b i j ) ∈ F n × n , c ∈ F \\forall A=\\left(\\boldsymbol{a}_{i j}\\right), \\boldsymbol{B}=\\left(\\boldsymbol{b}_{i j}\\right) \\in \\boldsymbol{F}^{n \\times n}, c \\in \\boldsymbol{F} ∀A=(aij),B=(bij)∈Fn×n,c∈F
∀
A
=
(
a
i
j
)
,
B
=
(
b
i
j
)
∈
F
n
×
n
,
c
∈
F
\\forall A=\\left(a_{i j}\\right), B=\\left(b_{i j}\\right) \\in F^{n \\times n}, c \\in F
∀A=(aij),B=(bij)∈Fn×n,c∈F 以上是关于线性映射02—— 线性映射概念与运算的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
Tr
(
A
+
B
)
=
Tr
(