线性映射01——映射的概念和性质
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- 线性映射01——映射的概念和性质
- 线性映射02—— 线性映射概念与运算
- 线性映射03——线性空间的同构
- 线性映射04——像与核
- 线性映射05——代数与代数同构
- 线性映射06——线性变换
- 线性映射07——线性变换的矩阵表示
- 线性映射08——不变子空间
- 线性映射9——对偶空间
映射
定
义
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义} }}
定义 设
S
,
T
S, T
S,T 是两个非空集合,
映
射
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{映射}}}
映射
φ
:
S
→
T
\\varphi: S \\rightarrow T
φ:S→T 是指一个对应法则, 使得对于
S
S
S 中任意一个元素
α
,
\\alpha,
α, 都存在
T
T
T 中唯一的元素
β
\\beta
β 与之对应, 记为
φ
(
α
)
=
β
或
φ
:
α
↦
β
.
\\varphi(\\alpha)=\\beta 或 \\varphi: \\alpha \\mapsto \\beta .
φ(α)=β或φ:α↦β.
这时, 我们称
β
\\beta
β 是
α
\\alpha
α 在
φ
\\varphi
φ 下的
像
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{像}}}
像, 元素
α
\\alpha
α 称为
β
\\beta
β 的
原
像
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{原像}}}
原像.当
α
\\alpha
α 取遍
S
S
S 中的所有元素时, 所有像的集合记为
Im
φ
=
{
φ
(
α
)
∣
α
∈
S
}
\\operatorname{Im} \\varphi=\\{\\varphi(\\alpha) \\mid \\alpha \\in S\\}
Imφ={φ(α)∣α∈S}
Im
φ
\\operatorname{Im} \\varphi
Imφ 也是
φ
\\varphi
φ 的
值
域
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{值域}}}
值域 .
元素
β
\\beta
β 的所有原像的集合记为
φ
−
1
(
β
)
=
{
α
∈
S
∣
φ
(
α
)
=
β
}
\\varphi^{-1}(\\beta)=\\{\\alpha \\in S \\mid \\varphi(\\alpha)=\\beta\\}
φ−1(β)={α∈S∣φ(α)=β}
若 S = T , S=T, S=T, 称 φ \\varphi φ 是集合 S S S 上的一个变换 \\quad 若 T ⊆ C , T \\subseteq \\mathbb{C}, T⊆C, 称 φ \\varphi φ 为集合 S S S 上的一个函数.
定
义
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义} }}
定义 两个映射
φ
:
S
→
T
\\varphi: S \\rightarrow T
φ:S→T 和
ψ
:
S
→
T
\\psi: S \\rightarrow T
ψ:S→T 称为相等,并记为
φ
=
ψ
,
\\varphi=\\psi,
φ=ψ, 如果对于任意的
α
∈
S
,
\\alpha \\in S,
α∈S, 都有
φ
(
α
)
=
ψ
(
α
)
\\varphi(\\alpha)=\\psi(\\alpha)
φ(α)=ψ(α)
例
1
\\Large\\color{violet}{例1}
例1:
\\quad
判断下列
X
X
X 到
Y
Y
Y 对应法则是否为映射
X
=
{
a
,
b
,
c
}
,
Y
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
X=\\{a, b, c\\}, Y=\\{1,2,3,4\\}
X={a,b,c},Y={1,2,3,4}
σ : σ ( a ) = 1 , σ ( b ) = 1 , σ ( c ) = 2 \\sigma: \\sigma(a)=1, \\quad \\sigma(b)=1, \\quad \\sigma(c)=2 σ:σ(a)=1,σ(b)=1,σ(c)=2 (是)
δ : δ ( a ) = 1 , δ ( b ) = 2 , δ ( c ) = 3 , δ ( c ) = 4 \\delta: \\delta(a)=1, \\delta(b)=2, \\delta(c)=3, \\delta(c)=4 \\quad δ:δ(a)=1,δ(b)=2,δ(c)=3,δ(c)=4 （不是 ) ) )
τ : τ ( b ) = 2 , τ ( c ) = 4 \\tau: \\tau(b)=2, \\quad \\tau(c)=4 τ:τ(b)=2,τ(c)=4 （不是 ) ) )
例 2 \\Large\\color{violet}{例2} 例2. (1) σ : Z → Z , n ↦ 2 n , ∀ n ∈ Z \\sigma: \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Z}, \\boldsymbol{n} \\mapsto \\mathbf{2 n ,} \\forall \\boldsymbol{n} \\in \\mathbb{Z} σ:Z→Z,n↦2n,∀n∈Z
(2) 非空集 A A A 上的 恒 等 变 换 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{恒等变换}}} 恒等变换 1 A 1_{A} 1A : 1 A : A → A , a ↦ a , ∀ a ∈ A , \\mathbf{1}_{A}: \\boldsymbol{A} \\rightarrow \\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{a} \\mapsto \\boldsymbol{a}, \\forall \\boldsymbol{a} \\in \\boldsymbol{A}, 1A:A→A,a↦a,∀a∈A, 也记为 i d A \\mathbf{i d}_{A^{}} idA
(3) 非空集 A A A 到集 B B B 的常值映射:任取 B B B 中某个元 b , b, b, 由 b b b 规定映射: σ b : A → B , a ↦ b , ∀ a ∈ A \\sigma_{b}: A \\rightarrow B, a \\mapsto b, \\forall a \\in A σb:A→B,a↦b,∀a∈A
(4) 数学分析中定义在实数集上的实函数, 都可以视为 R \\mathbb{R} R 上的变换.
以上是关于线性映射01——映射的概念和性质的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章