线性映射04——像与核
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线性映射的像与核
定
义
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }}
定义1 设
φ
:
V
→
U
\\varphi: V \\rightarrow U
φ:V→U 是线性映射, 全部像所成集：
Im
φ
=
φ
(
V
)
=
{
φ
(
α
)
∣
α
∈
V
}
\\operatorname{Im} \\varphi = \\varphi( V ) =\\{\\varphi(\\alpha) \\mid \\alpha \\in V\\}
Imφ=φ(V)={φ(α)∣α∈V}
称为线性映射
φ
\\varphi
φ 的
像
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{像}}}
像 (值域).
Ker
φ
=
{
α
∈
V
∣
φ
(
α
)
=
0
}
\\operatorname{Ker} \\varphi=\\{\\alpha \\in V \\mid \\varphi(\\alpha)=0\\}
Kerφ={α∈V∣φ(α)=0}
称为线性映射
φ
\\varphi
φ 的
核
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{核}}}
核 .即0 的原像集
因为 Im φ = φ ( V ) , \\operatorname{Im} \\varphi=\\varphi(V), Imφ=φ(V), K e r φ = φ − 1 ( 0 ) . Ker~\\varphi=\\varphi^{-1}(0) . Ker φ=φ−1(0). 直接验证知
(1) 恒等变换
1
V
1_{V}
1V 的像与核:
Im
(
1
V
)
=
{
1
V
α
∣
α
∈
V
}
=
V
ker
(
1
V
)
=
{
α
∈
V
∣
1
V
α
=
0
}
=
O
\\operatorname{Im}\\left(1_{V}\\right)=\\left\\{1_{V} \\alpha \\mid \\alpha \\in V\\right\\}=V \\quad \\\\\\operatorname{ker}\\left(1_{V}\\right)=\\left\\{\\alpha \\in V \\mid 1_{V} \\alpha=0\\right\\}=O
Im(1V)={1Vα∣α∈V}=Vker(1V)={α∈V∣1Vα=0}=O
(2) 零映射
O
\\mathcal{O}
O 的像与核:
Im
(
O
)
=
O
ker
(
O
)
=
V
1
\\operatorname{Im}(\\mathcal{O})=\\boldsymbol{O} \\quad \\operatorname{ker}(\\mathcal{O})=\\boldsymbol{V}_{1}
Im(O)=Oker(O)=V1
(3) 数乘变换
k
1
V
\\boldsymbol{k} 1_{V}
k1V 呢?
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }} 定理1 设 A : V 1 → V 2 \\mathcal{A}: V_1 \\rightarrow V_2 A:V1→V2 是线性映射, 则 K e r A Ker\\mathcal{A} KerA 是 V 1 V_1 V1 的子空间, Im A \\operatorname{Im} \\mathcal{A} ImA 是 V 2 V_2 V2 的子空间。
【证明】: ker A \\operatorname{ker} \\mathcal{A} kerA 是 V 1 V_1 V1 的子空间:
ker A \\operatorname{ker} \\mathcal{A} kerA 非空: A ( 0 1 ) = 0 2 ⇒ 0 1 ∈ ker A = { α ∈ V 1 ∣ A α = 0 2 } \\quad \\mathcal{A}\\left(\\mathbf{0}_{1}\\right)=\\mathbf{0}_{2} \\Rightarrow \\mathbf{0}_{1} \\in \\operatorname{ker} \\mathcal{A}=\\left\\{\\alpha \\in V_{1} \\mid \\mathcal{A} \\alpha=\\mathbf{0}_{2}\\right\\} A(01)=02⇒01∈kerA={α∈V1∣Aα=02}
ker
A
\\operatorname{ker} \\mathcal{A}
kerA 对加法封闭:
任取
α
1
,
α
2
∈
ker
A
⇒
A
α
1
=
A
α
2
=
0
2
⇒
A
(
α
1
+
α
2
)
=
A
α
1
+
A
α
2
=
0
2
+
0
2
=
0
2
⇒
α
1
+
α
2
∈
ker
A
\\text { 任取 } \\alpha_{1}, \\alpha_{2} \\in \\operatorname{ker} \\mathcal{A} \\Rightarrow \\mathcal{A} \\alpha_{1}=\\mathcal{A} \\alpha_{2}=\\mathbf{0}_{2}\\\\ \\Rightarrow \\mathcal{A}\\left(\\alpha_{1}+\\alpha_{2}\\right)=\\mathcal{A} \\alpha_{1}+\\mathcal{A} \\alpha_{2}=\\mathbf{0}_{2}+\\mathbf{0}_{2}=\\mathbf{0}_{2} \\Rightarrow \\alpha_{1}+\\alpha_{2} \\in \\operatorname{ker} \\mathcal{A}
任取 α1,α2∈kerA⇒Aα1=Aα2=02⇒A(α1+α2)=Aα1+Aα2=02+02=02⇒α1+α2∈kerA
ker
A
\\operatorname{ker} \\mathcal{A}
kerA 对数乘封闭:
任取 α ∈ \\alpha \\in α∈ ker A , c ∈ F ⇒ A α = 0 2 \\operatorname{ker} \\mathcal{A}, c \\in F \\Rightarrow \\mathcal{A} \\alpha=\\mathbf{0}_{2} kerA,c线性映射01——映射的概念和性质