线性映射05——代数与代数同构
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性映射05——代数与代数同构相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
代数与代数同构
定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1 } }} 定义1 设 V V V 是数域 F F F上线性空间. 如果在 V V V 上定义乘法" ∘ \\circ ∘",满足：
(1) 对于任意的
α
,
β
,
γ
∈
V
,
\\alpha, \\beta, \\gamma \\in V,
α,β,γ∈V, 有
(
α
∘
β
)
∘
γ
=
α
∘
(
β
∘
γ
)
;
(1)
(\\alpha \\circ \\beta) \\circ \\gamma=\\alpha \\circ(\\beta \\circ \\gamma) ;\\tag{1}
(α∘β)∘γ=α∘(β∘γ);(1)
(2) 对于任意的
α
,
β
,
γ
∈
V
,
\\alpha, \\beta, \\gamma \\in V,
α,β,γ∈V, 有
α
∘
(
β
+
γ
)
=
α
∘
β
+
α
∘
γ
,
(
α
+
β
)
∘
γ
=
α
∘
β
+
α
∘
γ
(2)
\\alpha \\circ(\\beta+\\gamma)=\\alpha \\circ \\beta+\\alpha \\circ \\gamma,(\\alpha+\\beta) \\circ \\gamma=\\alpha \\circ \\beta+\\alpha \\circ \\gamma\\tag{2}
α∘(β+γ)=α∘β+α∘γ,(α+β)∘γ=α∘β+α∘γ(2)
(3) 对于任意的
α
,
β
∈
V
,
c
∈
F
,
\\alpha, \\beta \\in V, c \\in F,
α,β∈V,c∈F, 有
c
(
α
∘
β
)
=
(
c
α
)
∘
β
=
α
∘
(
c
β
)
(3)
c(\\alpha \\circ \\beta)=(c \\alpha) \\circ \\beta=\\alpha \\circ(c \\beta)\\tag{3}
c(α∘β)=(cα)∘β=α∘(cβ)(3)
则称
V
V
V 是
F
F
F 上的
代
数
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{代数}}}
代数.
若还满足
(4) 存在乘法的单位元: 存在
e
∈
V
,
e \\in V,
e∈V, 使得对于任意的
α
∈
V
,
\\alpha \\in V,
α∈V, 有
e
∘
α
=
α
∘
e
=
α
(4)
e \\circ \\alpha=\\alpha \\circ e=\\alpha\\tag{4}
e∘α=α∘e=α(4)
则称
V
V
V 是
带
单
位
元
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{带单位元}}}
带单位元
e
e
e 的
F
F
F上代数.
若还满足
(5) 乘法交换律: 对于任意的
α
,
β
∈
V
,
\\alpha, \\beta \\in V,
α,β∈V, 有
α
∘
β
=
β
∘
α
(5)
\\alpha \\circ \\beta=\\beta \\circ \\alpha\\tag{5}
α∘β=β∘α(5)
则称
V
V
V 是
F
F
F -
交
换
代
数
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{交换代数}}}
交换代数. 不满足(5)的代数称为非交换代数.
定
义
2
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义2 } }}
定义2 设
V
,
U
V, U
V,U 是数域
F
F
F 上的两个代数, 若存在线性空间同构映射
Θ
:
V
→
U
\\Theta: V \\rightarrow U
Θ:V→U 且满足
Θ
(
α
∘
β
)
=
Θ
(
α
)
∘
Θ
(
β
)
(6)
\\Theta(\\alpha \\circ \\beta)=\\Theta(\\alpha) \\circ \\Theta(\\beta)\\tag{6}
Θ(α∘β)=Θ(α)∘Θ(β)(6)
则称
Θ
\\Theta
Θ 是
F
F
F上
代
数
同
构
\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{代数同构}}}
代数同构.
例 1 \\Large\\color{violet}{例1} 例1 F n × n \\boldsymbol{F}^{n \\times n} Fn×n 对于矩阵的加法, 数乘和乘法构成 F F F上带单位元的非交换代数, 单位元是 n n n 阶单位阵.
定 义 3 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义3 } }} 定义3设 V V V 是数域 F F F 上线性空间, 从 V V V 到 V V V 本身的线性映射叫做线性变换. 记 L ( V ) \\mathfrak{L}(\\boldsymbol{V}) L(V) 是所有从 V V V 到 V V V 的线性变换构成的集合. 对于线性空间 V V V 的两个线性变换自然有合成, 记 φ s \\varphi^{s} φs 为 s s s 个 φ \\varphi φ 的合成. 易知
(1) φ n φ m = φ n + m ; \\varphi^{n} \\varphi^{m}=\\varphi^{n+m} ; φnφm=φn+m;
(2) ( φ n ) m = φ n m ; \\left(\\varphi^{n}\\right)^{m}=\\varphi^{n m} ; (φn)m=φnm;
(3) 定义
φ
0
=
i
d
V
.
\\varphi^{0}=i d_{V} .
φ0=idV. 若
φ
\\varphi
φ 可逆, 定义
φ
−
n
=
(
φ
−
1
)
n
\\varphi^{-n}=\\left(\\varphi^{-1}\\right)^{n}
φ−n=(φ−1)n,则
以上是关于线性映射05——代数与代数同构的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章