线性映射05——代数与代数同构

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代数与代数同构

定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1 } }} 1 V V V 是数域 F F F上线性空间. 如果在 V V V 上定义乘法" ∘ \\circ ",满足:

(1) 对于任意的 α , β , γ ∈ V , \\alpha, \\beta, \\gamma \\in V, α,β,γV,
( α ∘ β ) ∘ γ = α ∘ ( β ∘ γ ) ; (1) (\\alpha \\circ \\beta) \\circ \\gamma=\\alpha \\circ(\\beta \\circ \\gamma) ;\\tag{1} (αβ)γ=α(βγ);(1)
(2) 对于任意的 α , β , γ ∈ V , \\alpha, \\beta, \\gamma \\in V, α,β,γV,
α ∘ ( β + γ ) = α ∘ β + α ∘ γ , ( α + β ) ∘ γ = α ∘ β + α ∘ γ (2) \\alpha \\circ(\\beta+\\gamma)=\\alpha \\circ \\beta+\\alpha \\circ \\gamma,(\\alpha+\\beta) \\circ \\gamma=\\alpha \\circ \\beta+\\alpha \\circ \\gamma\\tag{2} α(β+γ)=αβ+αγ,(α+β)γ=αβ+αγ(2)
(3) 对于任意的 α , β ∈ V , c ∈ F , \\alpha, \\beta \\in V, c \\in F, α,βV,cF,
c ( α ∘ β ) = ( c α ) ∘ β = α ∘ ( c β ) (3) c(\\alpha \\circ \\beta)=(c \\alpha) \\circ \\beta=\\alpha \\circ(c \\beta)\\tag{3} c(αβ)=(cα)β=α(cβ)(3)
则称 V V V F F F 上的 代 数 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{代数}}} .

若还满足

(4) 存在乘法的单位元: 存在 e ∈ V , e \\in V, eV, 使得对于任意的 α ∈ V , \\alpha \\in V, αV,
e ∘ α = α ∘ e = α (4) e \\circ \\alpha=\\alpha \\circ e=\\alpha\\tag{4} eα=αe=α(4)
则称 V V V 带 单 位 元 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{带单位元}}} e e e F F F上代数.

若还满足

(5) 乘法交换律: 对于任意的 α , β ∈ V , \\alpha, \\beta \\in V, α,βV,
α ∘ β = β ∘ α (5) \\alpha \\circ \\beta=\\beta \\circ \\alpha\\tag{5} αβ=βα(5)
则称 V V V F F F - 交 换 代 数 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{交换代数}}} . 不满足(5)的代数称为非交换代数.

定 义 2 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义2 } }} 2 V , U V, U V,U 是数域 F F F 上的两个代数, 若存在线性空间同构映射 Θ : V → U \\Theta: V \\rightarrow U Θ:VU 且满足
Θ ( α ∘ β ) = Θ ( α ) ∘ Θ ( β ) (6) \\Theta(\\alpha \\circ \\beta)=\\Theta(\\alpha) \\circ \\Theta(\\beta)\\tag{6} Θ(αβ)=Θ(α)Θ(β)(6)
则称 Θ \\Theta Θ F F F 代 数 同 构 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{代数同构}}} .

例 1 \\Large\\color{violet}{例1} 1 F n × n \\boldsymbol{F}^{n \\times n} Fn×n 对于矩阵的加法, 数乘和乘法构成 F F F上带单位元的非交换代数, 单位元是 n n n 阶单位阵.

定 义 3 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义3 } }} 3 V V V 是数域 F F F 上线性空间, 从 V V V V V V 本身的线性映射叫做线性变换. 记 L ( V ) \\mathfrak{L}(\\boldsymbol{V}) L(V) 是所有从 V V V V V V 的线性变换构成的集合. 对于线性空间 V V V 的两个线性变换自然有合成, 记 φ s \\varphi^{s} φs s s s φ \\varphi φ 的合成. 易知

(1) φ n φ m = φ n + m ; \\varphi^{n} \\varphi^{m}=\\varphi^{n+m} ; φnφm=φn+m;

(2) ( φ n ) m = φ n m ; \\left(\\varphi^{n}\\right)^{m}=\\varphi^{n m} ; (φn)m=φnm;

(3) 定义 φ 0 = i d V . \\varphi^{0}=i d_{V} . φ0=idV. φ \\varphi φ 可逆, 定义 φ − n = ( φ − 1 ) n \\varphi^{-n}=\\left(\\varphi^{-1}\\right)^{n} φn=(φ1)n,则

以上是关于线性映射05——代数与代数同构的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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线性映射01——映射的概念和性质

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