线性映射08——不变子空间

Posted 2021-06-07 炫云云

文章目录

• • 不变子空间
  • 子空间分解
  • 参考

不变子空间

约定 $:V$ 是 $F-$ 空间, $\mathcal{A}\in \mathrm{End}(V)$

不变子空间 $V$ 的子空间 $W$ 满足: $w\in W\Rightarrow \mathcal{A}(w)\in W$,即 $\mathcal{A}(W)\subseteq W.$ 简称 $\mathcal{A}-$ 子 空间.

$例1$

(1) 平凡子空间: $\mathbf{O},\mathbf{V}$;

(2) 像空间与核空间: Im $\mathcal{A}$, ker $\mathcal{A}$;

(3) 特征子空间: V λ 0 = { α ∈ V ∣ A α = λ 0 α } V_{\\lambda_{0}}=\\left\\{\\alpha \\in V \\mid \\mathcal{A} \\alpha=\\lambda_{0} \\alpha\\right\\} Vλ0​​={α∈V∣Aα=λ0​α}, 其中 ${\lambda }_0$ 是 $\mathcal{A}$ 的特征值.

$例2$

(1) $\mathcal{A}=c{1}_V$ 是数乘变换 $\Rightarrow V$ 的任一子空间都是 $\mathcal{A}$ -子空间

(2) 不变子空间的交与和仍然是不变子空间;

(3) 设 $\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的特征值,规定 $V^{\lambda }:=\left\{\alpha \in V\mid {\left(\mathcal{A}-\lambda 1_V\right)}^k\alpha =0对某\mathbf{k}\in {\mathbb{Z}}_{>0}\right\}$, 则 $V^{\lambda }$ 是 $\mathcal{A}$ -子空间,称为特征值 $\lambda$ 的广义特征子空间.

证明: $V^{\lambda }\ne \varnothing :V_{\lambda }\subseteq V^{\lambda }.$

$V^{\lambda }$ 对数乘封闭:任取 $\alpha \in V^{\lambda },c\in F$
$$\begin{array}{l}\Rightarrow \exists k\in {\mathbb{Z}}_{>0},\text{ s.t. }{\left(\mathcal{A}-\lambda 1_V\right)}^k\alpha =0\\ \Rightarrow {\left(\mathcal{A}-\lambda 1_V\right)}^k(c\alpha )=c\left[{\left(\mathcal{A}-\lambda 1_V\right)}^k\alpha \right]=0\Rightarrow c\alpha \in V^{\lambda }\end{array}$$
对加法封闭 $:$ 任取 $\alpha ,\beta \in V^{\lambda },c\in F\Rightarrow \exists k_1,k_2\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, s.t. ${\left(\mathcal{A}-\lambda 1_V\right)}^{k_1}\alpha =0,{\left(A-\lambda 1_V\right)}^{k_2}\beta =0$

令 $k=\max \left(k_1,k_2\right)$, 则
( A − λ 1 V ) k ( α + β ) = ( A − λ 1 V ) k α + ( A − λ 1 V ) k β = ( A − λ 1 V ) k − k 1 [ ( A − λ 1 V ) k 1 α ] ⏟ 0 + ( A − λ 1 V ) k − k 2 [ ( A − λ 1 V ) k 2 β ] ⏟

以上是关于线性映射08——不变子空间的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

线性映射01——映射的概念和性质

线性映射02—— 线性映射概念与运算

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深度学习2. 基础——线性相关生成子空间范数特征分解

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