线性映射9——对偶空间
Posted 炫云云
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性映射9——对偶空间相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
对偶空间
本节约定: V V V 是 n n n 维 F \\boldsymbol{F} F -空间
对偶空间 :
V
V
V 上全体
F
\\boldsymbol{F}
F -线性函数所成集合
V
∗
:
=
{
f
:
V
→
F
∣
f
是线性映射
}
V^{*}:=\\{f: V \\rightarrow F \\mid f \\text { 是线性映射 }\\}
V∗:={f:V→F∣f 是线性映射 }
关于线性映射的加法与数乘所成
F
\\boldsymbol{F}
F -空间称为
V
V
V 的对偶空间.
定
理
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }}
定理1 设
α
1
,
⋯
,
α
n
\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}
α1,⋯,αn 是
V
V
V 的一组基,
∀
c
1
,
⋯
,
c
n
∈
F
\\forall c_{1}, \\cdots, c_{n} \\in F
∀c1,⋯,cn∈F, 存在唯一的线性函数
f
∈
V
∗
f \\in V^{*}
f∈V∗ 使得
f
(
α
i
)
=
c
i
(
1
≤
i
≤
n
)
.
f\\left(\\alpha_{i}\\right)=c_{i}(1 \\leq i \\leq n) .
f(αi)=ci(1≤i≤n).
证明：这是
1
1
1 节定理 1 中线性映射存在唯一性的特殊情形,只需令
f
(
x
1
α
1
+
⋯
+
x
n
α
n
)
=
x
1
c
1
+
⋯
+
x
n
c
n
,
∀
x
1
,
⋯
,
x
n
∈
F
f\\left(x_{1} \\alpha_{1}+\\cdots+x_{n} \\alpha_{n}\\right)=x_{1} c_{1}+\\cdots+x_{n} c_{n}, \\quad \\forall x_{1}, \\cdots, x_{n} \\in F
f(x1α1+⋯+xnαn)=x1c1+⋯+xncn,∀x1,⋯,xn∈F
对偶基 :设
α
1
,
⋯
,
α
n
\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}
α1,⋯,αn 是
V
V
V 的一组基,规定
f
i
∈
V
∗
(
1
≤
i
≤
n
)
f_{i} \\in V^{*}(1 \\leq i \\leq n)
fi∈V∗(1≤i≤n) 如下:
f
i
(
α
1
)
=
⋯
=
f
(
α
i
−
1
)
=
f
i
(
α
i
+
1
)
=
⋯
=
f
(
α
n
)
=
0
,
f
i
(
α
i
)
=
1
或
f
i
(
α
j
)
=
δ
i
j
:
=
{
1
,
若
i
=
j
0
,
若
i
≠
j
(
Knonecker记号
)
或
f
i
(
c
1
α
1
+
⋯
+
c
n
α
n
)
=
c
i
\\begin{array}{c} f_{i}\\left(\\alpha_{1}\\right)=\\cdots=f\\left(\\alpha_{i-1}\\right)=f_{i}\\left(\\alpha_{i+1}\\right)=\\cdots=f\\left(\\alpha_{n}\\right)=0, \\quad f_{i}\\left(\\alpha_{i}\\right)=1 \\\\ \\text { 或 } f_{i}\\left(\\alpha_{j}\\right)=\\delta_{i j}:=\\left\\{\\begin{array}{l} 1, \\text { 若 } i=j \\\\ 0, \\text { 若 } i \\neq j \\end{array}(\\text { Knonecker记号 }) \\text { 或 } f_{i}\\left(c_{1} \\alpha_{1}+\\cdots+c_{n} \\alpha_{n}\\right)=c_{i}\\right. \\end{array}
fi(α1)=⋯=f(αi−1)=fi(αi+1)=⋯=f(αn)=0,fi(αi)=1 或 fi(αj)=δij:={1, 若 i=j0, 若 i=j( Knonecker记号 ) 或 fi(c1α1+⋯+cnαn)=ci
例
1
\\Large\\color{violet}{例~1}
例 1
f
1
,
⋯
,
f
n
f_{1}, \\cdots, f_{n}
f1,⋯,fn 是
V
∗
V^{*}
V∗ 的一组基,称为
α
1
,
⋯
,
α
n
\\alpha_{1}, \\cdots, \\alpha_{n}
α1,⋯,αn 的对偶基.<
以上是关于线性映射9——对偶空间的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章