lambda矩阵——初等变换下的标准形

Posted 2021-06-07 炫云云

文章目录

• • 初等变换
  • 初等矩阵
  • 等价
  • 标准形
  • 参考

初等变换

$\boxed{定义}$ 下面的三种变换叫做 $\lambda$ -矩阵的初等变换:

(1) 矩阵的两行（列）互换位置; (换行）

(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 $c;$ (倍行）

(3) 矩阵有某一行 (列）加另一行 (列）的 $\phi (\lambda )$ 倍， $\phi (\lambda )$ 是一个多项式。 $($ 倍法化零)

初等矩阵

$\boxed{定义}$ 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵。

例如，将单位矩阵的第 $j$行的 $\phi (\lambda )$ 倍加到第 $i$ 行上得

仍用 $P(i,j)$ 表示由单位矩阵经过第 $i$ 行第 $j$ 行互换位置所得的初等矩阵，

用$P(i(c))$ 表示用非零常数 $c$ 乘单位矩阵第 $i$ 行所得的初等矩阵。

作用:

同数字矩阵一样,对一个 $s\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda )$ 作一次初等行变换就相当于在$A(\lambda )$ 的左边乘上相应 $s\times s$ 的初等矩阵; 对 $A(\lambda )$ 作一次初等列变换就相当于 $A(\lambda )$在的右边乘上相应的 $n\times n$ 的初等矩阵。

$\boxed{性质}$ 初等矩阵都是可逆的，并且有
$$\begin{gathered} P(i,j{)}^{-1}=P(i,j), \\ P(i(c){)}^{-1}=P\left(i\left(c^{-1}\right)\right), \\ P(i,j(\phi ){)}^{-1}=P(i,j(-\phi ))\text{ 。 } \end{gathered}$$
由此得出初等变换具有可逆性：设 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda )$ 用初等变换变成 $B(\lambda )$, 这相当于对 $A(\lambda )$ 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 $B(\lambda )$ 就变回 $A(\lambda )$, 而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 $B(\lambda )$ 可用初等变换变回 $A(\lambda )$ 。

等价

$\boxed{定义}$ $\lambda -$ 矩阵 $A(\lambda )$ 称为与 $B(\lambda )$ 等价，如果可以经过一系列初等变换将$A(\lambda )$ 化为 $B(\lambda )$ 记为 $A(\lambda )\to B(\lambda )$ 。

注：等价是 $\lambda$ -矩阵之间的一种关系，

$\boxed{性质}$ (1) 反身性：每一个 $\lambda$ -矩阵与它自身等价。

(2) 对称性: 若 $A(\lambda )$ 与 $B(\lambda )$ 等价，则 $B(\lambda )$ 与 $A(\lambda )$ 等价。

(3) 传递性: 若 $A(\lambda )$ 与 $B(\lambda )$ 等价， $B(\lambda )$ 与 $C(\lambda )$ 等价，则 $A(\lambda )$ 与 $C(\lambda )$ 等价。

$\boxed{等价的充要条件}$

应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵 $A(\lambda )$ 与 $B(\lambda )$ 等价的充要条件为有一系列初等矩阵 $P_1,P_2,\cdots ,P_l,Q_1,Q_2,\cdots ,Q_t$, 使
$$A(\lambda )=P_1{P}_2\cdots P_{l}B(\lambda )Q_1{Q}_2\cdots Q_t$$

标准形

这一节主要是证明任意一个 $\lambda$ - 矩阵可以经过初等变换化为某种对角形。为此，首先给出下面的引理.

$\boxed{引理}$ 设 $\lambda -$ 矩阵 $A(\lambda )$ 的左上角元素 $a_{11}(\lambda )\ne 0$ ，并且 $A(\lambda )$ 中至少有一个元素不能被它除尽 (不全是它的公倍数)，那么一定可以找到一个与 $A(\lambda )$ 等价

以上是关于lambda矩阵——初等变换下的标准形的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

线性代数复习之003矩阵初等变换与方程

将矩阵化简为行最简形矩阵有啥技巧，或者一般有啥特定的步骤么？

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