lambda矩阵——初等因子
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了lambda矩阵——初等因子相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
初等因子的概念
A ∈ F n × n ⇒ λ I − A ⇒ 相抵标准形 ( d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) ⋱ d n ( λ ) ) ⇒ Frobenius有理标准形 F = ( F 1 ⋱ F k ) \\begin{aligned} A \\in F^{n \\times n} \\Rightarrow \\lambda I-A \\Rightarrow & \\text { 相抵标准形 }\\left(\\begin{array}{lll} d_{1}(\\lambda) & & & \\\\ & d_{2}(\\lambda) & & \\\\ & & \\ddots & \\\\ & & & d_{n}(\\lambda) \\end{array}\\right) \\\\ & \\Rightarrow \\text { Frobenius有理标准形 } \\boldsymbol{F}=\\left(\\begin{array}{lll} \\boldsymbol{F}_{1} & & \\\\ & & \\ddots & \\\\ & && \\boldsymbol{F}_{k} \\end{array}\\right) \\end{aligned} A∈Fn×n⇒λI−A⇒ 相抵标准形 ⎝⎜⎜⎛d1(λ)d2(λ)⋱dn(λ)⎠⎟⎟⎞⇒ Frobenius有理标准形 F=⎝⎛F1⋱Fk⎠⎞
缺点：不够“细致”
原因: 不变因子 d i ( λ ) \\boldsymbol{d}_{i}(\\lambda) di(λ) 的次数过高导致 Frobenius块 的阶较大
新思路:在复数域上对 d i ( λ ) \\boldsymbol{d}_{i}(\\lambda) di(λ) 分解或可得到更佳结果?
定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }} 定义1 把矩阵 A ( A( A( 或线性变换 A ) A) A) 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵 A A A (或线性变换 A ) A) A) 的初等因子.
设
A
A
A 的相抵标准形为
diag
(
1
,
⋯
1
,
d
1
(
λ
)
,
⋯
,
d
r
(
λ
)
)
\\operatorname{diag}\\left(1, \\cdots 1, d_{1}(\\lambda), \\cdots, d_{r}(\\lambda)\\right)
diag(1,⋯1,d1(λ),⋯,dr(λ))，将
A
A
A 的不变因子均分解为首 1 不可约多项式之乘积
d
1
(
λ
)
=
(
λ
−
λ
1
)
e
11
(
λ
−
λ
2
)
e
12
⋯
(
λ
−
λ
t
)
e
t
d
2
(
λ
)
=
(
λ
−
λ
1
)
e
11
(
λ
−
λ
2
)
e
22
⋯
(
λ
−
λ
t
)
e
2
t
\\begin{array}{l} d_{1}(\\lambda)=\\left(\\lambda-\\lambda_{1}\\right)^{e_{11}}\\left(\\lambda-\\lambda_{2}\\right)^{e_{12}} \\cdots\\left(\\lambda-\\lambda_{t}\\right)^{e_{t}} \\\\ d_{2}(\\lambda)=\\left(\\lambda-\\lambda_{1}\\right)^{e_{11}}\\left(\\lambda-\\lambda_{2}\\right)^{e_{22}} \\cdots\\left(\\lambda-\\lambda_{t}\\right)^{e_{2 t}} \\end{array}
d1(λ)=(λ−λ1)e11(λ−λ2)e12⋯(λ−λt)etd2(λ)=(λ−λ1)e11(λ−λ2)e22⋯(λ−λt)e2t
d
r
(
λ
)
=
(
λ
−
λ
1
)
e
r
1
(
λ
−
λ
2
)
e
r
2
⋯
(
λ
−
λ
t
)
e
n
\\boldsymbol{d}_{r}(\\lambda)=\\left(\\lambda-\\lambda_{1}\\right)^{e_{r 1}}\\left(\\lambda-\\lambda_{2}\\right)^{e_{r 2}} \\cdots\\left(\\lambda-\\lambda_{t}\\right)^{e_{n}}
dr(λ)=(λ−λ1)er1(λ−λ2)er2⋯(λ−λt)en
其中
e
i
j
∈
Z
≥
0
,
1
≤
i
≤
r
,
1
≤
j
≤
t
e_{i j} \\in \\mathbb{Z}_{\\geq 0}, 1 \\leq i \\leq r, 1 \\leq j \\leq t
eij∈Z≥0,1≤iA=[3 1 -1;0 2 0;1 1 1] 求A的行列式因子，不变因子和初等因子和A的jordan标准型