lambda矩阵——若尔当(Jordan)标准形

Posted 2021-06-07 炫云云

文章目录

• • 参考

我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.

不难算出若尔当块
$$J_0={\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& {\lambda }_0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& {\lambda }_0\end{array}\right)}_{n\times n}$$
的初等因子是 ${\left(\lambda -{\lambda }_0\right)}^n.$

事实上，考虑它的特征矩阵
$$\lambda E-J_0=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda -{\lambda }_0& 0& \cdots & 0& 0\\ -1& \lambda -{\lambda }_0& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & -1& \lambda -{\lambda }_0\end{array}\right)$$
显然 $\left|\lambda E-J_0\right|={\left(\lambda -{\lambda }_0\right)}^n$, 这就是 $\lambda E-J_0$ 的 $n$ 级行列式因子.由于 $\lambda E-J_0$ 有一个$n-1$ 级子式是
$$\left|\begin{array}{ccccc}-1& \lambda -{\lambda }_0& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & -1& \lambda -{\lambda }_0\\ 0& 0& \cdots & 0& -1\end{array}\right|=(-1{)}^{n-1}$$
所以它的 $n-1$ 级行列式因子是 1 , 从而它以下各级的行列式因子全是 $1.$ 因此它的不变因子
d 1 ( λ ) = ⋯ = d n − 1 ( λ ) = 1 , d n ( λ ) = ( λ − λ 0 ) n d_{1}(\\lambda)=\\cdots=d_{n-1}(\\lambda)=1, d_{n}(\\lambda)=\\left(\\lambda-\\lambda_{0}\\right)^{n} d以上是关于lambda矩阵——若尔当(Jordan)标准形的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

若尔当标准形 弗罗贝尼乌斯标准形

关于Jordan标准形

Jordan标准形 01

Jordan标准形02——Jordan-Chevalley分解幂零矩阵与幂零变换

29-相似矩阵和若尔当形

奇异值分解