lambda矩阵——相似与λ-矩阵的相抵
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了lambda矩阵——相似与λ-矩阵的相抵相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
在求一个数字矩阵 A A A 的特征值和特征向量时曾出现过 λ − \\lambda- λ− 矩阵 λ E − A \\lambda E-A λE−A,我们称它 A A A 为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个 n × n n \\times n n×n 数字矩阵 A A A 和 B B B 相似的充要条件是它们的特征矩阵 λ E − A \\lambda E-A λE−A 和 λ E − B \\lambda E-B λE−B 相抵（等价）.
引
理
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{引理 1} }}
引理1 如果有
n
×
n
n \\times n
n×n 数字矩阵
P
0
,
Q
0
P_{0}, Q_{0}
P0,Q0 使
λ
E
−
A
=
P
0
(
λ
E
−
B
)
Q
0
,
(1)
\\lambda E-A=P_{0}(\\lambda E-B) Q_{0},\\tag{1}
λE−A=P0(λE−B)Q0,(1)
则
A
A
A 和
B
B
B 相似.
【证明】： 因 P 0 ( λ E − B ) O 0 = λ P 0 O 0 − P 0 B O 0 P_{0}(\\lambda E-B) O_{0}=\\lambda P_{0} O_{0}-P_{0} B O_{0} P0(λE−B)O0=λP0O0−P0BO0,
它又与
λ
E
−
A
\\lambda E-A
λE−A 相等，进行比较后应有
P
0
Q
0
=
E
,
P
0
B
O
0
=
A
.
P_{0} Q_{0}=E, \\quad P_{0} B O_{0}=A .
P0Q0=E,P0BO0=A.
由此
Q
0
=
P
0
−
1
Q_{0}=P_{0}^{-1}
Q0=P0−1, 而
A
=
P
0
B
P
0
−
1
.
\\mathrm{A}=P_{0} B P_{0}^{-1} . \\quad
A=P0BP0−1. 故
A
A
A 与
B
B
B 相似.
引
理
2
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{引理 2} }}
引理2 对于任何不为零的
n
×
n
n \\times n
n×n 数字矩阵
A
A
A 和
λ
−
\\lambda-
λ− 矩阵
U
(
λ
)
U(\\lambda)
U(λ) 与
V
(
λ
)
V(\\lambda)
V(λ), 一定存在
λ
−
\\lambda-
λ− 矩阵
Q
(
λ
)
Q(\\lambda)
Q(λ) 与
R
(
λ
)
R(\\lambda)
R(λ) 以及数字矩阵
U
0
U_{0}
U0 和
V
0
V_{0}
V0 使
U
(
λ
)
=
(
λ
E
−
A
)
Q
(
λ
)
+
U
0
,
V
(
λ
)
=
R
(
λ
)
(
λ
E
−
A
)
+
V
0
\\begin{array}{l} U(\\lambda)=(\\lambda E-A) Q(\\lambda)+U_{0}, \\\\ V(\\lambda)=R(\\lambda)(\\lambda E-A)+V_{0} \\end{array}
U(λ)=(λE−A)Q(λ)+U0,V(λ)=R(λ)(λE−A)+V0
【证明】： 把
U
(
λ
)
U(\\lambda)
U(λ) 改写成
U
(
λ
)
=
D
0
λ
m
+
D
1
λ
m
−
1
+
…
+
D
m
−
1
λ
+
D
m
U(\\lambda)=D_{0} \\lambda^{m}+D_{1} \\lambda^{m-1}+\\ldots+D_{m-1} \\lambda+D_{m}
U(λ)=D0λm+D1λm−1+…+Dm−1λ+Dm
这里
D
0
,
D
1
,
…
,
D
m
D_{0}, D_{1}, \\ldots, D_{m}
D0,D1,…,Dm 都是
n
×
n
n \\times n
n×n 数字矩阵，而且
D
0
≠
0.
D_{0} \\neq 0 .
D0=0.如
m
=
0
m=0
m=0, 则令
Q
(
λ
)
=
0
Q(\\lambda)=0
Q(λ)=0 及
U
0
=
D
0
U_{0}=D_{0}
U0=D0, 它们显然满足引理 2 要求.
设
m
>
0
m>0
m>0, 令
Q
(
λ
)
=
Q
0
λ
m
−
1
+
Q
1
λ
m
−
2
+
…
+
Q
m
−
2
λ
+
Q
m
−
1
.
Q(\\lambda)=Q_{0} \\lambda^{m-1}+Q_{1} \\lambda^{m-2}+\\ldots+Q_{m-2} \\lambda+Q_{m-1} .
Q(λ)=Qlambda矩阵——初等因子