矩阵03——逆矩阵伴随矩阵以及性质
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了矩阵03——逆矩阵伴随矩阵以及性质相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
矩阵与复数
复数可以用二维有序数组来表示，如复数 a + b i a+b \\mathrm{i} a+bi 可表示为 ( a , b ) , (a, b), (a,b),因此，从结构上看复数是矩阵的特殊情形.我们看到,矩阵与复数相仿，有加法、减法、乘法三种运算. 我们知道，复数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否也有逆运算呢?如果有的话，这种运算如何定义，如何计算呢?这就是本节所要讨论的问题.
这一节讨论的矩阵，如不特别说明，都是
n
×
n
n \\times n
n×n 矩阵. 我们知道,对于任意的
n
n
n 级方阵
A
A
A 都有
A
E
=
E
A
=
A
A E=E A=A
AE=EA=A
这里
E
E
E 是
n
n
n 级单位矩阵. 因此，从乘法的角度来看
n
n
n 级单位矩阵.在
n
n
n 级方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位.
一个复数
a
≠
0
a \\neq 0
a=0 的倒数
a
−
1
a^{-1}
a−1 可以用等式
a
a
−
1
=
1
{ a } a^{-1}=1
aa−1=1
来刻画，相仿地，我们引入逆矩阵的概念.
逆矩阵的定义
- 可逆的定义
定
义
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }}
定义1
n
\\quad n
n 级方阵
A
A
A 称为为可逆矩阵，如果有n级方阵
B
,
B,
B, 使得
A
B
=
B
A
=
E
,
(1)
A B=B A=E \\text { , } \\tag{1}
AB=BA=E , (1)
这里
E
E
E 是
n
n
n 级单位矩阵. 简称A可逆.
定 义 2 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义2} }} 定义2 如果矩阵 B B B 满足 ( 1 ) , (1), (1), 那么就称为 A A A 的 逆 矩 阵 \\large\\color{red}{\\boxed{\\color{green}{ 逆矩阵 }}} 逆矩阵 ,记为 A − 1 = B A^{-1}=B A−1=B.
问 题 1 \\Large\\color{violet}{问题1} 问题1 任意非零矩阵都有逆矩阵吗 ？
例1 单位阵是可逆矩阵.
例2 由于 ( 0 0 1 1 ) ( a b c d ) = ( 0 0 a + c b + d ) ≠ ( 1 0 0 1 ) \\left(\\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{cc}a & b \\\\ c & d\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ a+c & b+d\\end{array}\\right) \\neq\\left(\\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & 1\\end{array}\\right) (0101)(acbd)=(0a+c0b+d)=(1001)
因此 ( 0 0 1 1 ) \\left(\\begin{array}{ll}\\mathbf{0} & \\mathbf{0} \\\\ \\mathbf{1} & \\mathbf{1}\\end{array}\\right) (0101) 不可逆.
答：并非任一非零矩阵都有逆矩阵.
问 题 2 \\Large\\color{violet}{问题2} 问题2 若n阶方阵A可逆，则逆矩阵唯一吗 ?
事实上，若B、C 均为
A
A
A 的逆矩阵，则
A
B
=
B
A
=
E
n
,
A
C
=
C
A
=
E
n
A B=B A=E_{n,} A C=C A=E_{n}
AB=BA=En,AC=CA=En
从而
B
=
B
E
n
=
B
(
A
C
)
=
(
B
A
)
C
=
E
n
C
=
C
.
B=B E_{n}=B(A C)=(B A) C=E_{n} C=C .
B=BEn=B(AC)=(BA)C=EnC=C.
答: 若 n n n 阶方阵 A A A 可逆，则逆矩阵唯一.
注 \\Large\\color{violet}{注 } 注 由于可逆矩阵 A A A 的逆矩阵是唯一确定的，故可用确定的符号记之为 A − 1 A^{-1} A−1.
例 1 \\Large\\color{violet}{例1 } 例1 设方阵 A A A 满足 A 2 − A − 2 E = O A^{2}-A-2 E=O \\quad A2−A−2E=O 证明 A A A 及 A + 2 E A+2 E A+2E都可逆, 并求 A − 1 A^{-1} A−1 及 ( A + 2 E ) − 1 . (A+2 E)^{-1} . (A+2E)−1.
【解】
\\quad
变形所给的等式，得 以上是关于矩阵03——逆矩阵伴随矩阵以及性质的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
A
2
−
A
−
2
E
=
O
A^{2}-A-2 E=O
A2−A−2E=O
移项 得
A
2
−
A
=
2
E
A^{2}-A=2 E
A2−A=2E
分解因式 得
A
(
A
−
E
)
=
2
E
A(A-E)=2 E
A(A−E)=2E
两边取行列式得
∣
A
(
A
−
E
)
∣
=
∣
2
E
∣
=
2
n
≠
0
|A(A-E)|=|2 E|=2^{n} \\neq 0
∣A(A−E)∣=∣2E∣=2n=0
由方阵的行列式的性质得
∣
A