线性代数38—— 矩阵的合同
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数38—— 矩阵的合同相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1.线性替换的矩阵上表示
n元二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = X T A X f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=X^{T} A X f(x1,x2,⋯,xn)=XTAX经可逆线性变换 X = C Y X=CY X=CY,有
f ( X ) = ( C Y ) T A ( C Y ) = Y T ( C T A C ) Y = Y T B Y ≃ g ( Y ) f(X)=(C Y)^{T} A(C Y)=Y^{T}\\left(C^{T} A C\\right) Y=Y^{T}B Y \\simeq g(Y) f(X)=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y=YTBY≃g(Y)
其中 B = C T A C B=C^{T} A C B=CTAC，
∴ Y T B Y = g ( y 1 , y 2 , … , y n ) \\therefore Y^{T} B Y=g\\left(y_{1}, y_{2}, \\ldots, y_{n}\\right) ∴YTBY=g(y1,y2,…,yn) 是一个 y 1 , y 2 , ⋯ , y n \\quad y_{1}, y_{2}, \\cdots, y_{n} y1,y2,⋯,yn 二次型.
因此：数域 F F F上的 n n n元二次型经过非退化线性替换仍为数域 F F F上的 n n n元二次型
根据矩阵乘法的性质, 有：
B
T
=
(
C
T
A
C
)
T
=
C
T
A
T
C
=
C
T
A
C
=
B
B^{T}=\\left(C^{T} A C\\right)^{T}=C^{T} A^{T} C=C^{T} A C=B
BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B
因此, 矩阵
B
B
B为对称阵。由二次型和对称阵的关系得：
B
B
B为二次型
g
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
)
g\\left(y_{1}, y_{2}, \\ldots, y_{n}\\right)
g(y1,y2,…,yn) 的矩阵
2.矩阵合同的概念
定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }} 定义1 对n阶矩阵 A , B A,B A,B,若存在可逆矩阵 C C C,使 $C^{T} A C=B\\ 则 称 则称 则称A 与 与 与B$合同.
注 1 \\Large\\color{violet}{注 1} 注1：二次型 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = X T A X f\\left(x_{1}, x_{2}, \\ldots, x_{n}\\right)=X^{T} A X f(x1,x2,…,xn)=XTAX 经过非退化线性替换 X = C Y X=C Y X=CY,化为二次型 g ( y 1 , y 2 , … , y n ) = Y T B Y g\\left(y_{1}, y_{2}, \\ldots, y_{n}\\right)=Y^{T} B Y g(y1,y2,…,yn)=YTBY.则两个二次型的矩阵 A A A 和 B B B 合同 : B = C T A C : B=C^{T} A C :B=CTAC
合同 ⇔ \\Leftrightarrow ⇔ x T A x , x T B x x^TAx,x^TBx xTAx,xTBx 的秩与正负惯性指数相等。（或者说对实对称矩阵A和B，合同 ⇔ \\Leftrightarrow ⇔ 秩和正负惯性指数相等。）
3、矩阵合同的性质
(1)反身性:矩阵 A A A与自身合同;
A = I T A I A=I^{T} A I A=ITAI
(2)对称性:若 A A A与 B B B合同，则 B B B与 A A A合同;
若 B = P T A P ( P B=P^{T} A P\\left(P\\right. B=PTAP(P 可逆), 则 A = ( P − 1 ) T B P − 1 . A=\\left(P^{-1}\\right)^{T} B P^{-1} . A=(P−1)TBP−1. 即 B B B 与 A A A 合同.
(3)传递性:若 A A A与 B B B合同，且 B B B与 C C C合同,则 A A A与 C C C合同.
若 B = P T A P , C = Q T B Q ( P , Q B=P^{T} A P, C=Q^{T} B Q \\quad(P, Q B=PTAP,Cnumpy linalg模块