相似合同相抵
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相似
数域 F F F 上方阵的相 似：设 A , B ∈ F n × n A, B \\in F^{n \\times n} A,B∈Fn×n, 若有可逆方阵 P ∈ F n × n P \\in F^{n \\times n} P∈Fn×n 使得 B = P − 1 A P B=P^{-1} A P B=P−1AP,就称 A A A 相似于 B . B . B.
定 理 8 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理8} }} 定理8 相似矩阵具有自反性, 对称性与传递性.
什么样的矩阵,与其相似的只能是其自身？
定
理
9
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理9} }}
定理9 线性空间
V
n
V^{n}
Vn 的基
(
I
)
(I)
(I):
x
1
,
⋯
,
x
n
,
x_{1}, \\cdots, x_{n},
x1,⋯,xn, 基
(
I
I
)
(II)
(II):
y
1
,
⋯
,
y
n
y_{1}, \\cdots, y_{n}
y1,⋯,yn,线性变换
T
:
T
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
=
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
A
\\boldsymbol{T}: \\boldsymbol{T}\\left(\\boldsymbol{x}_{1}, \\cdots, \\boldsymbol{x}_{n}\\right)=\\left(\\boldsymbol{x}_{1}, \\cdots, \\boldsymbol{x}_{n}\\right) \\boldsymbol{A}
T:T(x1,⋯,xn)=(x1,⋯,xn)A
T
(
y
1
,
⋯
,
y
n
)
=
(
y
1
,
⋯
,
y
n
)
B
\\boldsymbol{T}\\left(\\boldsymbol{y}_{1}, \\cdots, \\boldsymbol{y}_{n}\\right)=\\left(\\boldsymbol{y}_{1}, \\cdots, \\boldsymbol{y}_{n}\\right) \\boldsymbol{B}
T(y1,⋯,yn)=(y1,⋯,yn)B
由基
(
I
)
(I)
(I)到基
(
I
I
)
(II)
(II)的过渡矩阵为
C
,
\\boldsymbol{C},
C, 则
B
=
C
−
1
A
C
\\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{C}^{-1} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{C}
B=C−1AC.
【证】 因为
T
(
y
1
⋯
,
y
n
)
=
T
(
x
1
,
⋯
x
n
)
C
=
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
A
C
=
(
y
1
,
⋯
,
y
n
)
C
−
1
A
C
\\boldsymbol{T}\\left(\\boldsymbol{y}_{1} \\cdots, \\boldsymbol{y}_{n}\\right)=\\boldsymbol{T}\\left(\\boldsymbol{x}_{1}, \\cdots \\boldsymbol{x}_{n}\\right) \\boldsymbol{C}=\\left(\\boldsymbol{x}_{1}, \\cdots, \\boldsymbol{x}_{n}\\right) \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{C}=\\left(\\boldsymbol{y}_{1}, \\cdots, \\boldsymbol{y}_{n}\\right) \\boldsymbol{C}^{-1} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{C}
T(y1⋯,yn)=T(x1,⋯xn)C=(x1,⋯,xn)AC=(y1,⋯,yn)C−1AC
T
(
y
1
,
⋯
,
y
n
)
=
(
y
1
,
⋯
,
y
n
)
B
\\boldsymbol{T}\\left(\\boldsymbol{y}_{1}, \\cdots, \\boldsymbol{y}_{n}\\right)=\\left(\\boldsymbol{y}_{1}, \\cdots, \\boldsymbol{y}_{n}\\right) \\boldsymbol{B}
T(y1,⋯,yn)=(y1,⋯,yn)B
所以
B
=
C
−
1
A
C
\\quad \\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{C}^{-1} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{C}
B=C−1AC
相抵
设
A
,
B
A, B
A,B 是
m
×
n
m \\times n
m×n 矩阵, 则
A
A
A 与
B
B
B 相抵
⇔
P
A
Q
=
B
,
(
P
,
Q
可
逆
)
\\Leftrightarrow PAQ=B,(P,Q可逆)
⇔PAQ=B,(P,Q可逆)
⇔
r
(
A
)
=
r
(
B
)
⇔
A
,
B
的
相
抵
标
准
形
是
相
同
的
.
\\begin{array}{l} \\Leftrightarrow r(A)=r(B)\\\\ \\Leftrightarrow A, B 的相抵标准形是相同的. \\end{array}{}
⇔r(A)=r(B)⇔A,B的相抵标准形是相同的.
矩阵合同
定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }} 定义1 对n阶矩阵 A , B A,B A,B,若存在可逆矩阵 C C C,使 $C^{T} A C=B\\ 则 称 则称 则称A 与 与 与B$合同.
注 1 \\Large\\color{violet}{注 1} 注1：二次型 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = X T A X f\\left(x_{1}, x_{2}, \\ldots, x_{n}\\right)=X^{T} A X f(x1,x2,…,xn矩阵的等价，相似，合同