向量及其坐标表示
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向量的基本概念
称既有大小, 又有方向的量称为向量.(矢量)
向量的几何表示 :
用带箭矢的线段，即有向线段表示 . 向量又称矢量 .
有向线段的长度表示向量的大小 ， 有向线段的方向（从起点到终点到指向）表示向量的方向．
例如: A B → ( A \\overrightarrow{A B} \\quad(A AB(A 为起点 B B B 为终点的有向线段) 表示一个向量，它还可用粗体字母 a \\boldsymbol{a} a 或带箭头的字母 a ⃗ \\vec{a} a 表示
n
\\mathrm{n}
n 元向量可以用
n
×
1
n \\times 1
n×1 矩阵表示，如:
V
=
[
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
]
或
V
T
=
[
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
]
\\mathbf{V}=\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\\\ x_{4} \\\\ x_{5} \\end{array}\\right] \\text { 或 } \\mathbf{V}^{T}=\\left[\\begin{array}{lllll} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} \\end{array}\\right]
V=⎣⎢⎢⎢⎢⎡x1x2x3x4x5⎦⎥⎥⎥⎥⎤ 或 VT=[x1x2x3x4x5]
向量中的每个元素
x
n
x _{n}
xn, 都称作向量的一个分量。
自由向量
由于一切向量的共性是：大小和方向， 所以数学上只研究与起点无关的向量， 并称这种向量为自由向量．
换句话说，一个向量自由平移后得到的是同一个向量．
也就是说，长度相等并且方向相同的有向线段表示同一向量．
两向量相等
如果两个向量 a a a 和 b b b 的大小相等，且方向相同， 则称向量 a a a 和 b b b 是相等的，记作 a = b a=b a=b ．
【注】两个相等的向量实际上是同一个向量， 它们通过平移会重合．
两向量平行
如果两个非零向量 a a a 和 b b b 的方向相同或者相反,则称它们平行或者共线. 记作 a / / b \\boldsymbol{a} / / \\boldsymbol{b} a//b.
(注) 两个平行的向量若用同一起点的有向线段表示，则它们在同一直线上.
向量的模
向量的大小叫做向量的模
向量 a a a 的模记作 ∣ a ∣ . |\\mathbf{a}| . ∣a∣.
模为 1 的向量称为单位向量.模为 0 的向量称为零向量.
一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是： ( n , k ) (\\mathrm{n}, \\mathrm{k}) (n,k), 则有 n 2 + k 2 = 1 \\mathrm{n}^{2}+\\mathrm{k}^{2}=1 n2+k2=1.
【注１】 零向量的起点和终点重合，它的方向可以看作是任意的 .
【注２】 零向量与任何向量平行．
例 1 \\Large\\color{violet}{例1} 例1 已知平面上两点 A ( 1 , 1 ) A(1,1) A(1,1) 和 B ( 2 , 3 ) B(2,3) B(2,3), 求向量 A B → \\overrightarrow{A B} AB 的模.
向量
A
B
→
\\overrightarrow{A B}
AB 的模等于有向线段的长度, 由两点距离公式, 有
∣
A
B
→
∣
=
(
2
−
1
)
2
+
(
3
−
1
)
2
=
5
|\\overrightarrow{A B}|=\\sqrt{(2-1)^{2}+(3-1)^{2}}=\\sqrt{5}
∣AB∣=(2−1)2+(3−1)2=5
设
C
(
2
,
1
)
C(2,1)
C(2,1), 则
∣
A
C
→
∣
=
(
2
−
1
)
2
+
(
1
−
1
)
2
=
1
|\\overrightarrow{A C}|=\\sqrt{(2-1)^{2}+(1-1)^{2}}=1
∣AC∣=(2−1)2+(1−1)2=1
向量
A
C
→
\\overrightarrow{A C}
AC 是单位向量.
向量的坐标表示
平面上点 M ( x , y ) M(x, y) M(x,y) 的向量的坐标表示： O M → = ( x , y ) \\overrightarrow{O M}=(x, y) OM=(x,y) 称为径向量
向量 O M → \\overrightarrow{O M} OM 的模 ： ∣ O M → ∣ = x 2 + y 2 |\\overrightarrow{O M}|=\\sqrt{x^{2}+y^{2}} ∣OM∣=x2+y2
平面向量的坐标表示 ：
对于平面上两点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) A\\left(x_{1}, y_{1}\\right), B\\left(x_{2}, y_{2}\\right) 以上是关于向量及其坐标表示的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章