Jordan标准形02——Jordan-Chevalley分解幂零矩阵与幂零变换

Posted 2021-06-07 炫云云

文章目录

• • 幂零矩阵与幂零变换
  • 幂零矩阵的判别
  • 中国剩余定理
  • 可换线性变换的性质
  • Jordan-Chevalley分解
  • 参考

幂零矩阵与幂零变换

幂零与半单线性变换

(1) 设 $\mathcal{A}\ne \mathcal{O}$, 若正整数 $m$ 使得 ${\mathcal{A}}^m=\mathcal{O}$ 且 ${\mathcal{A}}^{m-1}\ne \mathcal{O}$,称 $\mathcal{A}$ 是幂零指数为为 $m$ 的幂零线性变换.

(2) 设 $A\ne O$, 若正整数 $m$ 使得 $A^m=O$ 且 $A^{m-1}\ne O$,称 $A$ 是幂零指数为 $m$ 的幂零矩阵.

(3) 约定 $O$ 与O的幂零指数为1;

$(4)$ 有限维复空间上的线性变换若可对角化 ,称为 半单的;

(5) 可对角化的复方阵,称为半单的.

$例1$ $(1)A=\left(\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 是幂零指数为 3 的幕零矩阵 $:A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),A^3=O$
一般地, $\mathbf{n}$ 阶 Jordan 块 $J_{0,n}$ 是幂零指数为 $n$ 的幂零矩阵

(2)复方阵 $A$ 半单的等价叙述：

$A$ 半单(即 $A$ 可对角化 $)\iff A$ 的最小多项式没有重根 $\iff A$ 有一个没有重根的零化多项式

$\boxed{定理1}$ 设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 的幂零指数为 $m$, 则

(1) $A$ 的特征值均为 $0,A$ 的最小多项式为 ${\lambda }^m;$

(2) $A$ 的特征多项式为 $|\lambda I-A|={\lambda }^n$, 特别地, 幂零指数 $m\le n.$

【证明:】 $(1)$ 任取 $A$ 的一个复特征值 $\lambda$, 则 $A^m=O\Rightarrow {\lambda }^m=0\Rightarrow \lambda =0$

由：

• $A^m=O\Rightarrow A$ 被 ${\lambda }^m$ 零化 $\Rightarrow A$ 的最小多项式是 ${\lambda }^m$ 的因子
• $A^{m-1}\ne O\Rightarrow A$ 的最小多项式不是 ${\lambda }^{m-1}$ 的因子

$\Rightarrow A$ 的最小多项式是 ${\lambda }^m$

(2)由(1)知 $A$ 惟一的特征值是 $0$, 其特征多项式是以 $0$ 为 $n$ 重根的 $n$ 次首1多项式, 即
$$|\lambda I-A|={\lambda }^n$$
最小多项式 ${\lambda }^m\mid$ 特征多项式 ${\lambda }^n\Rightarrow m\le n$ 。

$例2$. 设 $A,B\in F^{n\times n}$ 幂零, 且 $AB=BA$, 则

(1) $AB$ 幂零;

(2) $A+B,A-B,cA+$

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