向量的点积数量积
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了向量的点积数量积相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
引例：常力做功
若物体在常力 F \\boldsymbol{F} F 的作用下产生了位移 S \\boldsymbol{S} S,称力 F \\boldsymbol{F} F 对物体所做的功就等于这个力在位移方向上的分力大小与位移大小之积.
即: W = ∣ F ∣ cos θ ⋅ ∣ S ∣ = ∣ F ∣ ∣ S ∣ cos θ . \\quad W=|\\boldsymbol{F}| \\cos \\theta \\cdot|\\boldsymbol{S}|=|\\boldsymbol{F}||\\boldsymbol{S}| \\cos \\theta . W=∣F∣cosθ⋅∣S∣=∣F∣∣S∣cosθ.
两个问题：
- 向量的投影
- 向量的数量积
向量的投影
定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }} 定义1 向量 a a a 在非零向量 e e e 上的投影是指有向线段 O P OP OP 的值，记作： ( a ) e \\quad(\\boldsymbol{a})_{e} (a)e 或者 Π e ( a ) \\Pi_{e}(\\boldsymbol{a}) Πe(a),
- 当 O P O P OP 与 e e e 同向时, ( a ) e = ∣ O P ∣ \\quad(\\boldsymbol{a})_{e}=|O P| (a)e=∣OP∣,
- 当 O P O P OP 与 e e e 反向时, ( a ) e = − ∣ O P ∣ \\quad(\\boldsymbol{a})_{e}=-|O P| (a)e=−∣OP∣.
【注】
(
a
)
e
=
∣
a
∣
cos
θ
\\quad(\\boldsymbol{a})_{e}=|\\boldsymbol{a}| \\cos \\theta
(a)e=∣a∣cosθ,其中
θ
\\theta
θ 为向量
a
a
a 与
e
e
e 之夹角,
0
≤
θ
=
⟨
a
,
e
⟩
≤
π
0 \\leq \\theta=\\langle\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{e}\\rangle \\leq \\pi
0≤θ=⟨a,e⟩≤π
向量投影的性质
(1) Π e ( a + b ) = Π e ( a ) + Π e ( b ) \\Pi_{e}(\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b})=\\Pi_{\\boldsymbol{e}}(\\boldsymbol{a})+\\Pi_{\\boldsymbol{e}}(\\boldsymbol{b}) Πe(a+b)=Πe(a)+Πe(b)
(2) Π e ( λ a ) = λ Π e ( a ) , λ ∈ R \\Pi_{e}(\\lambda \\boldsymbol{a})=\\lambda \\Pi_{e}(\\boldsymbol{a}), \\lambda \\in \\mathbb{R} Πe(λa)=λΠe(a),λ∈R
【注】 Π e ( λ a + μ b ) = λ Π e ( a ) + μ Π e ( b ) \\Pi_{e}(\\lambda \\boldsymbol{a}+\\mu \\boldsymbol{b})=\\lambda \\Pi_{e}(\\boldsymbol{a})+\\mu \\Pi_{\\boldsymbol{e}}(\\boldsymbol{b}) Πe(λa+μb)=λΠe(a)+μΠe(b)
数量积或点积
定
义
2
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义2} }}
定义2 两向量
a
a
a 与
b
b
b 的数量积 (或点积) 规定为一个实数:
a
⋅
b
=
∣
a
∣
⋅
∣
b
∣
cos
θ
\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b}=|\\boldsymbol{a}| \\cdot|\\boldsymbol{b}| \\cos \\theta
a⋅b=∣a∣⋅∣b∣cosθ
其中
θ
\\theta
θ 为向量
a
a
a 与
b
b
b 之夹角,
0
≤
θ
=
⟨
a
,
b
⟩
≤
π
.
\\quad 0 \\leq \\theta=\\langle\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}\\rangle \\leq \\pi .
0≤θ=⟨a,b⟩≤π.
如果
A
A
A和
B
B
B都是
n
n
n维向量，这样定义点积:
A
⋅
B
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
\\boldsymbol{A} \\cdot \\boldsymbol{B}=\\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}
A⋅B=i=1∑naibi
点积结果是标量
【注1】 当 a a a 与 b b b 至少一个为 0 时, a ⋅ b = 0. \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b}=0 . a⋅b=0.
【注2】 ∣ a ∣ = a ⋅ a . |a|=\\sqrt{a \\cdot a} . ∣a∣=a⋅a.
【注3】 当 a ≠ 0 \\boldsymbol{a} \\neq \\mathbf{0} a=0 时, 有 a ⋅ b = ∣ a ∣ ( Π a ( b ) ) . \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b}=|\\boldsymbol{a}|\\left(\\Pi_{\\boldsymbol{a}}(\\boldsymbol{b})\\right) . a⋅b=∣a∣(Πa(b)).
【注4】 当 a , b ≠ 0 a, b \\neq 0 a,b=0 时, 有 cos ⟨ a , b ⟩ = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ \\cos \\langle\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}\\rangle=\\frac{\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b}}{|\\boldsymbol{a}||\\boldsymbol{b}|} cos⟨a,b⟩=∣a∣∣b∣a⋅b.
可以利用点积计算向量之间的夹角，如下图所示：
以上是关于向量的点积数量积的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
P
Q
⋅
P
R
=
∣
P
Q
∥
P
R
∣
cos
θ
cos
θ
=
P
Q
⋅
P
R
∣
P
Q
∣
∣
P
R
∣
=
⟨
−
1
,
1
,
0
⟩
⋅
⟨
−
1
,
0
,
2
⟩
(
−
1
)
2
+
1
2
+
0
2
×
(