矩阵——酉矩阵
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了矩阵——酉矩阵相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
酉矩阵的定义及性质
内积的定义：
范数的定义：矩阵——向量范数和矩阵范数
定
义
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }}
定义1 称
(
x
,
x
)
\\sqrt{(x, x)}
(x,x) 为非零向量
x
x
x 的长度(或模长, 2 -范数),记为
∥
x
∥
2
\\|x\\|_{2}
∥x∥2, 即
∥
x
∥
2
=
(
x
,
x
)
=
∑
i
=
1
n
∣
x
i
∣
2
=
x
H
x
\\|x\\|_{2}=\\sqrt{(x, x)}=\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}\\left|x_{i}\\right|^{2}}=\\sqrt{x^{H} x}
∥x∥2=(x,x)=i=1∑n∣xi∣2=xHx
定
义
2
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义2} }}
定义2若
∥
x
∥
2
=
1
\\|x\\|_{2}=1
∥x∥2=1, 称
x
x
x 为单位向量. 任意
x
≠
0
,
x
∥
x
∥
2
x \\neq 0, \\frac{x}{\\|x\\|_{2}}
x=0,∥x∥2x 为单位向量. 称为将向量单位化.
定 义 3 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义3} }} 定义3 设 x , y x, y x,y 为 n n n 维复向量,若 ( x , y ) = 0 (x, y)=0 (x,y)=0,称 x x x 与垂直或正交, 记为 x ⊥ y . x \\perp y . x⊥y. 两两正交的非零向量组称为正交向量组.
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }} 定理1正交向量组一定线性无关.
Gram-Schmidt 正交化方法：欧式空间02——标椎正交基
定
理
2
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理2} }}
定理2 令
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}
x1,x2,⋯,xn 是线性无关的向量组, 令 以上是关于矩阵——酉矩阵的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 矩阵的基本性质 之 对称矩阵，Hermite矩阵，正交矩阵，酉矩阵 转置矩阵使用T,Hermite矩阵正交矩阵酉矩阵奇异矩阵正规矩阵幂等矩阵
{
y
1
=
x
1
y
2
=
x
2
−
(
x
2
,
y
1
)
(
y
1
,
y
1
)
y
1
⋯
y
n
=
x
n
−
(
x
n
,
y
1
)
(
y
1
,
y
1
)
y
1
−
⋯
−
(
x
n
,
y
n
−
1
)
(
y
n
−
1
,
y
n
−
1
)
y
n
−
1
\\left\\{\\begin{array}{ll} y_{1}=x_{1} \\\\ y_{2}=x_{2}-\\frac{\\left(x_{2}, y_{1}\\right)}{\\left(y_{1}, y_{1}\\right)} y_{1} \\\\ \\cdots \\\\ y_{n}=x_{n}-\\frac{\\left(x_{n}, y_{1}\\right)}{\\left(y_{1}, y_{1}\\right)} y_{1}-\\cdots-\\frac{\\left(x_{n}, y_{n-1}\\right)}{\\left(y_{n-1}, y_{n-1}\\right)} y_{n-1} \\end{array}\\right.
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y1=x1y2=x2−(y1,y1)(x2,y1)y1⋯yn=xn−(y1,y1)(xn,y1)y1−⋯−(yn−1,yn−1)(xn,yn−1)yn−1
则
y
1
,
y
2
,
⋯
,
y
n
y_{1}, y_{2}, \\cdots, y_{n}
y1,y2,⋯,yn 为正交向量组, 且与
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x