向量的叉积向量积

Posted 2021-06-07 炫云云

文章目录

• • 向量积的定义与性质
  • • 向量积的几何意义
    • 向量积的性质
  • 用坐标计算向量积
  • 二重外积
  • 参考

引例：力作用在杠杆上的力矩

设 $O$ 为 杜杆 $L$ 的支点, 力 $\mathbf{F}$ 作用于 这杠杆的点 $P$ 处, $\mathbf{F}$ 与 $\overrightarrow{OP}$ 的夹角 为 $\theta$ ，那么，力 $\mathbf{F}$ 对支点$O$的力矩$M$ 是一个向量，它的模为
$$|M|=|OQ||\mathbf{F}|=|\overrightarrow{OP}||\mathbf{F}|\sin \theta$$
它的方向垂直于 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\mathbf{F}$ 所决定的平面, 并且按右手法则从$\overrightarrow{OP}$ 以不超过 $\pi$ 的角 $\theta$ 转向$F$确定.这里力矩$M$方向垂直朝外

问题：向量的向量积

向量积的定义与性质

$\boxed{定义1}$ 向量 $a$ 与 $b$ 的向量积 (或叉积) 是一个向量,记作 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$,它的长度规定为
$$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩,$$
它的方向规定为：与 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 都垂直，并且使$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 构成右手系, 即当右手四指从$a$ 以不超过 $\pi$ 的角 $\theta$ 弯向 $b$ 时，拇指的指向 .

【注1】 $a\times b=0$ 的充分必要条件是 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 共线

【注2】 $\mathbf{i}\times \mathbf{j}=\mathbf{k},\mathbf{j}\times \mathbf{k}=\mathbf{i},\mathbf{k}\times \mathbf{i}=\mathbf{j}$,

在二维空间内, 向量 $a=({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2),\mathrm{b}=({\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2)$
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ll}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1$$

向量积的几何意义

$|a\times b|$ 为以 $a$ 和 $b$ 为邻边的平行四边形的面积.

【注 】 三角形 $OAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$

两个相同向量的叉积是0,
$$A\times A=0$$
如果用几何意义解释，二者构成一条线段，线段的面积是0。

在方向上，叉积垂直于平行四边形所在的平面：

向量积的性质

$\boxed{命题1}$ 设 $\mathbf{a}\ne 0$, 则 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\mathbf{a}\times {\mathbf{b}}_2.$其中 ${\mathbf{b}}_2$ 是 $\mathbf{b}$ 关于 $a$ 的外投影向量

例如，设 $b$ 关于 $a$ 的正交分解为 $b=b_1+b_2$,其中 ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2$ 分别是 $叉乘的几何意义$

计算机图形学-向量向量加减法向量的点积（乘）向量的叉积（乘）

向量乘积的几何意义

转载利用向量积（叉积）计算三角形的面积和多边形的面积

二维图形变换

Codeforces 1255F Point Ordering （凸包+叉积）