线性映射07——线性变换的矩阵表示

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线性变换的矩阵表示

对于平面内特定的向量 x 1 \\mathbf{x}_{1} x1​, 只要看看 T ( x 1 ) \\mathrm{T}\\left(\\mathbf{x}_{1}\\right) T(x1​) 就可以了解线性变换对它产生的作用。我们对空间 内其它向量的线性变换同样感兴趣，换句话说，我们想知道线性变换对于整个输入空间的影 响。既然向量空间是由线性无关的向量张成的，那么只要知道平面内两个线性无关的向量, 就可以了解平面内所有向量线性变换的结果。也就是说，只要知道输入空间的基，就能掌握 线性变换对整个输入空间的影响。

线性变换与基的关系

1、问题提出

设 ε 1 , ε 2 , ⋯   , ε n \\varepsilon_{1}, \\varepsilon_{2}, \\cdots, \\varepsilon_{n} ε1​,ε2​,⋯,εn​ 是线性空间V的一组基, σ \\sigma σ 为V的线性变换.

则对任意 ξ ∈ V \\xi \\in V ξ∈V 存在唯一的一组数 x 1 , x 2 , ⋯   , x n ∈ F x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} \\in F x1​,x2​,⋯,xn​∈F,使 ξ = x 1 ε 1 + x 2 ε 2 + ⋯ + x n ε n \\xi=x_{1} \\varepsilon_{1}+x_{2} \\varepsilon_{2}+\\cdots+x_{n} \\varepsilon_{n} ξ=x1​ε1​+x2​ε2​+⋯+xn​εn​

从而, σ ( ξ ) = x 1 σ ( ε 1 ) + x 2 σ ( ε 2 ) + ⋯ + x n σ ( ε n ) \\sigma(\\xi)=x_{1} \\sigma\\left(\\varepsilon_{1}\\right)+x_{2} \\sigma\\left(\\varepsilon_{2}\\right)+\\cdots+x_{n} \\sigma\\left(\\varepsilon_{n}\\right) σ(ξ)=x1​σ(ε1​)+x2​σ(ε2​)+⋯+xn​σ(εn​)

由此知, σ ( ξ ) \\sigma(\\xi) σ(ξ) 由 σ ( ε 1 ) , σ ( ε 2 ) , ⋯   , σ ( ε n ) \\sigma\\left(\\varepsilon_{1}\\right), \\sigma\\left(\\varepsilon_{2}\\right), \\cdots, \\sigma\\left(\\varepsilon_{n}\\right) σ(ε1​),σ(ε2​),⋯,σ(εn​) 完全确定.

引 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{引理1} }} 引理1​ ： 设 ε 1 , ε 2 , ⋯   , ε n \\varepsilon_{1}, \\varepsilon_{2}, \\cdots, \\varepsilon_{n} ε1​,ε2​,⋯,εn​ 是线性空间的一组基, σ , τ \\sigma, \\tau σ,τ 为的线性变换，若 σ ( ε i ) = τ ( ε i ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n . \\quad \\sigma\\left(\\varepsilon_{i}\\right)=\\tau\\left(\\varepsilon_{i}\\right), \\quad i=1,2, \\cdots, n . σ(εi​)=τ(εi​),i=1,2,⋯,n.
则 σ = τ . \\quad \\sigma=\\tau . σ=τ.

引 理 2 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{引理2} }} 引理2​ ：设 ε 1 , ε 2 , ⋯   , ε n \\varepsilon_{1}, \\varepsilon_{2}, \\cdots, \\varepsilon_{n} ε1​,ε2​,⋯,εn​ 是线性空间 V V V 的一组基，对于任意一组向量 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{n} α1​,α2​,⋯,αn​ 一定有一个线性变换 T T T，使
T ε i = α i , i = 1 , 2 , ⋯   , n . T\\varepsilon_{i}=\\alpha_{i}, \\quad i=1,2, \\cdots, n . Tεi​=αi​,i=1,2,⋯,n.
【证明】： ∀ ξ ∈ V \\forall \\xi \\in V ∀ξ∈V, 则 ξ = x 1 ε 1 + ⋯ + x n ε n \\xi=x_{1} \\varepsilon_{1}+\\cdots+x_{n} \\varepsilon_{n} \\quad ξ=x1​ε1​+⋯+xn​εn​, 规定 T ξ = x 1 α 1 + ⋯ x n α n T\\xi=x_{1} \\alpha_{1}+\\cdots x_{n} \\alpha_{n} Tξ=x1​α1​+⋯xn​αn​

下面证明 T T T 是线性变换：

∀ k , l ∈ F , ξ , η ∈ V \\forall k, l \\in F, \\xi, \\eta \\in V ∀k,l∈F,ξ,η∈V, 则
ξ = x 1 ε 1 + ⋯ + x n ε n , T ξ = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n , η = y 1 ε

以上是关于线性映射07——线性变换的矩阵表示的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

线性映射02—— 线性映射概念与运算

线性映射01——映射的概念和性质

矩阵论（学习总结）

仿射空间中几种基本映射的矩阵表述

图像处理之_仿射变换与透视变换

线性变换的矩阵表示式