矩阵——酉相似下的标准型Hermite正定矩阵正规矩阵

Posted 2021-06-07 炫云云

文章目录

• • Schur分解定理
  • • 正规矩阵
    • Hermite正定矩阵
  • 参考

Schur分解定理

$\boxed{引理3}$ 对任意 $n$ 元单位复向量 $u_1$, 则存在酉矩阵 $U$, 使得 ${\mathbf{u}}_1$ 为其列向量.

证明思路 : 本质上解以 $u_1$ 分量为系数的齐次线性方程组，再将线性无关的解向量, Schimidt正交单位化即可.

$\boxed{定理3}$ （Schur定理） 设 $A$ 是 $n$ 阶复矩阵, 则存在酉矩阵 $U$使得
$$\mathbf{A}={\mathbf{U}}^H\mathbf{T}\mathbf{U}={\mathbf{U}}^{-1}\mathbf{T}\mathbf{U}$$
其中 $T$ 是上三角矩阵, 对角线上的元素为特征值。 此时称 $A$$\boxed{酉相似于矩阵}$ $T$， $T$ 称为酉相似下的$\boxed{标准型}$.

证明思路 : 用归纳法, $\mathbf{n}=1$ 显然成立. 对一般的 $n$, 先取$A$的特征值 ${\lambda }_1,u_1$ 为对应的特征向量,不妨设 ${\Vert u_1\Vert }_2=1$, 由引理可扩充成酉矩阵。

$U_1=\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)$, 由正交性，得 $U_1^{H}A{U}_1=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ 0& A_1\end{array}\right)$,

$A_1$ 为 $n-1$ 阶矩阵,再通过归纳假设知存在酉矩阵 $V$,使得 $V^H{A}_{1}V=T_1$, $T_1$ 为上 $n-1$ 阶上三角矩阵. 构造 $U_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& V\end{array}\right)$, 则 $U=U_1{U}_2$ 满足要求,
$$U^{H}AU=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ 0& T_1\end{array}\right)=T$$

正规矩阵

问题 : 从Schur定理知，在酉相似下，$A$已经很接近对角矩作，那么我们想知道, $A$ 什么时候能酉相似到对角矩阵?

$\boxed{定义5}$ 若矩阵. $A$ 满足 $A^{H}A=A{A}^H$, 则称 $A$ 为正规矩阵.

例：

• 实对称矩阵 $\left(A^T=A\right)$, 反实对称矩阵 $\left(A^T=-A\right)$,
• Hermite矩阵 $\left(A^H=A\right)$, 反Hermite矩阵 $\left(A^H=-A\right)$,
• 酉矩阵( $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H=\mathbf{I}$ )，正交矩阵 $\left({\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{I}\right)$ 都是正规矩阵.

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