矩阵01 ——概念运算和基本矩阵
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矩阵
例 1 \\Large{\\color{violet}{例1}} 例1 某工厂的两个分厂都生产三种产品. 在某年第一季度，生产情况如下表：
A
=
(
10
8
12
15
10
11
)
A=\\left(\\begin{array}{ccc} 10 & 8 & 12 \\\\ 15 & 10 & 11 \\end{array}\\right)
A=(10158101211)
定
义
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }}
定义1 由数域
F
F
F上的
m
n
mn
mn个数
a
i
j
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
m
;
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
a_{i j}(i=1,2, \\cdots, m ; j=1,2, \\cdots, n)
aij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)排成m行n列的矩形阵列
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
=
(
a
i
j
)
m
×
n
\\boldsymbol{A}=\\left(\\begin{array}{cccc} \\boldsymbol{a}_{11} & \\boldsymbol{a}_{12} & \\cdots & \\boldsymbol{a}_{1 n} \\\\ \\boldsymbol{a}_{21} & \\boldsymbol{a}_{22} & \\cdots & \\boldsymbol{a}_{2 n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ \\boldsymbol{a}_{m 1} & \\boldsymbol{a}_{m 2} & \\cdots & \\boldsymbol{a}_{m n} \\end{array}\\right)=\\left(\\boldsymbol{a}_{i j}\\right)_{m \\times n}
A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎞=(aij)m×n
称为
F
F
F 上
m
m
m 行
n
n
n 列矩阵，简记为
m
×
n
m \\times n
m×n 矩阵
,
,
,
a
i
j
a_{i j}
aij 称为
A
A
A 的第
i
i
i 行第
j
j
j 列元素或第
(
i
,
j
)
(i, j)
(i,j) 元素.
a
i
i
(
i
=
1
,
2
,
…
,
n
)
a_{i i}(i=1,2, \\ldots, n)
aii(i=1,2,…,n) 称为
A
A
A 的第
i
i
i 个(主)对角元.
• 1850年英国数学家西尔维斯特（Sylvester，1814-1897）首先提出矩阵的概念.
• 1858年英国数学家卡莱（A. Cayley, 1821-1895）建立了矩阵运算规则.
定
义
2
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义2} }}
定义2 若两个矩阵
A
=
(
a
i
j
)
m
×
n
,
B
=
(
b
i
j
)
s
×
t
A=\\left(a_{i j}\\right)_{m \\times n}, B=\\left(b_{i j}\\right)_{s \\times t}
A=(aij)m×n,B=(bij)s×t 满足如下条件则称
A
A
A 与
B
B
B 相等.
m
=
s
,
n
=
t
a
i
j
=
b
i
j
i
=
1
,
2
,
…
,
m
;
j
=
1
,
2
,
…
,
n
\\begin{array}{l} \\boldsymbol{m}=\\boldsymbol{s}, \\boldsymbol{n}=\\boldsymbol{t} \\\\ \\boldsymbol{a}_{i j}=\\boldsymbol{b}_{i j} \\quad i=\\mathbf{1}, \\boldsymbol{2}, \\ldots, \\boldsymbol{m} ; \\boldsymbol{j}=\\mathbf{1}, \\boldsymbol{2}, \\ldots, \\boldsymbol{n} \\end{array}
m=s,n=taij=biji=1,2,…,m;j=1,2,…,n
注 具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵. 例如
O
2
×
3
≠
O
1
×
6
O_{2 \\times 3} \\neq O_{1 \\times 6}
O2×3=O1×6
加法
例
1
\\Large{\\color{violet}{例1}}
例1 (续 ) 设第二季度的生产情况用矩阵
B
B
B表示 : 以上是关于矩阵01 ——概念运算和基本矩阵的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
B
=
(
12
10
10
14
12
8
)
B=\\left(\\begin{array}{ccc} 12 & 10 & 10 \\\\ 14 & 12 & 8 \\end{array}\\right)
B=(12141012108)
则上半年的生产情况可以用矩阵
C
C
C表示:
C
=
(
10
+
12
8
+
10
12
+
10
14
+
11
10
+
12
11
+
8
)
=
(
22
18
22
25
22
19
)
C=\\left(\\begin{array}{ccc}10+12 & 8