矩阵——条件数与方程组的性态
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了矩阵——条件数与方程组的性态相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
“病态”矩阵与方程
考虑线性方程组
(
2
6
2
6.00001
)
(
x
1
x
2
)
=
(
8
8.00001
)
\\left(\\begin{array}{cc} 2 & 6 \\\\ 2 & 6.00001 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} 8 \\\\ 8.00001 \\end{array}\\right)
(2266.00001)(x1x2)=(88.00001)
它有准确解
x
=
(
1
,
1
)
T
x=(1,1)^{T}
x=(1,1)T, 如果方程组右端项发生微小的变化
δ
b
=
(
0
,
0.00001
)
T
\\delta \\boldsymbol{b}=(0,0.00001)^{T}
δb=(0,0.00001)T
(
2
6
2
6.00001
)
(
x
~
1
x
~
2
)
=
(
8
8.00002
)
\\left(\\begin{array}{cc} 2 & 6 \\\\ 2 & 6.00001 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{l} \\tilde{x}_{1} \\\\ \\tilde{x}_{2} \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c} 8 \\\\ 8.00002 \\end{array}\\right)
(2266.00001)(x~1x~2)=(88.00002)
其解为
x
~
=
(
−
2
,
2
)
T
\\tilde{\\boldsymbol{x}}=(-2,2)^{T}
x~=(−2,2)T, 可以看出,
∥
x
−
x
~
∥
∞
∥
x
∥
∞
=
∥
(
3
−
1
)
∥
∞
∥
(
1
1
)
∥
∞
=
3
,
∥
δ
b
∥
∞
∥
b
∥
∞
=
∥
(
0
0.00001
)
∥
∞
∥
(
8
8.00001
)
∥
∞
=
0.00001
8.00001
≈
1
800000
,
\\frac{\\|\\boldsymbol{x}-\\tilde{\\boldsymbol{x}}\\|_{\\infty}}{\\|\\boldsymbol{x}\\|_{\\infty}}=\\frac{\\left\\|\\left(\\begin{array}{c} 3 \\\\ -1 \\end{array}\\right)\\right\\|_{\\infty}}{\\left\\|\\left(\\begin{array}{c} 1 \\\\ 1 \\end{array}\\right)\\right\\|_{\\infty}}=3, \\\\ \\frac{\\|\\delta \\boldsymbol{b}\\|_{\\infty} }{\\|\\boldsymbol{b}\\|_{\\infty}}= \\frac{\\left\\|\\left(\\begin{array}{c} 0 \\\\ 0.00001 \\end{array}\\right)\\right\\|_{\\infty}}{{\\left\\|\\left(\\begin{array}{c} 8 \\\\ 8.00001 \\end{array}\\right)\\right\\|_{\\infty}}} =\\frac{0.00001}{8.00001} \\approx \\frac{1}{800000},
∥x∥∞∥x−x~∥∞=∥∥∥∥(11)∥∥∥∥∞∥∥∥∥(3−1)∥∥∥∥∞=3,∥b∥∞∥δb∥∞=∥∥∥∥(88.00001)∥∥∥∥∞∥∥∥∥(00.00001)∥∥∥∥∞=8.000010.00001≈8000001,
即解的相对误差是右端的相对误差的 2400000 倍.
算子范数: 矩阵——向量范数和矩阵范数
定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义 1} }} 定义1 如果线性方程组 A x = b \\boldsymbol{A x}=\\boldsymbol{b} Ax=b 中， A \\boldsymbol{A} A 或 b \\boldsymbol{b} b 的元素的微小变化, 就会引起方程组解的 巨大变化，则称方程组为“病态”方程组，矩阵 A \\boldsymbol{A} A 称为“病态”矩阵. 否则称方程组为“良 态”方程组，矩阵 A A A 称为“良态”矩阵.
我们需要一种能刻画矩阵和方程组“病态”标准的量. 设线性方程组
A
x
=
b
\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{x}=\\boldsymbol{b}
Ax=b 中，
A
\\boldsymbol{A}
A 为 非奇异矩阵，
x
\\boldsymbol{x}
x 为方程组的准确解. 考虑
b
\\boldsymbol{b}
b 有误差
δ
b
\\delta \\boldsymbol{b}
δb, 其解为
x
+
δ
x
\\boldsymbol{x}+\\boldsymbol{\\delta x}
x+δx ，即
A
(
x
+
δ
x
)
=
b
+
δ
b
(1)
\\boldsymbol{A}(\\boldsymbol{x}+\\boldsymbol{\\delta} \\boldsymbol{x})=\\boldsymbol{b}+\\boldsymbol{\\delta} \\boldsymbol{b}\\tag{1}
A(x+δx)=b+δb(1)
因为
x
\\boldsymbol{x}
x 为方程组的准确解, 故 (1)为
A
δ
x
=
δ
b
,
即
δ
x
=
A
−
1
δ
b
,
\\boldsymbol{A} \\delta \\boldsymbol{x}=\\boldsymbol{\\delta} \\boldsymbol{b}, \\text { 即 } \\boldsymbol{\\delta} \\boldsymbol{x}=\\boldsymbol{A}^{-1} \\boldsymbol{\\delta} \\boldsymbol{b},
Aδx=δb,