矩阵——QR分解
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了矩阵——QR分解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
Q R \\boldsymbol{Q R} QR 分解
LU分解 :矩阵——LU分解
求解线性方程组与矩阵的LU分解
A
x
=
b
⟶
A
=
L
U
{
L
y
=
b
U
X
=
y
\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{x}=\\boldsymbol{b} \\stackrel{\\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{L} \\boldsymbol{U}}{\\longrightarrow}\\left\\{\\begin{array}{l} L y=b \\\\ U_{X}=y \\end{array}\\right.
Ax=b⟶A=LU{Ly=bUX=y
问题：条件数与方程组的性态
cond
(
A
)
=
cond
(
L
U
)
≤
cond
(
L
)
⋅
cond
(
U
)
LU分解是否能保持条件数?
\\begin{array}{l} \\operatorname{cond}(\\boldsymbol{A})=\\operatorname{cond}(\\boldsymbol{L} \\boldsymbol{U}) \\leq \\operatorname{cond}(\\boldsymbol{L}) \\cdot \\operatorname{cond}(\\boldsymbol{U})\\\\ \\text { LU分解是否能保持条件数? } \\end{array}
cond(A)=cond(LU)≤cond(L)⋅cond(U) LU分解是否能保持条件数?
矩阵——条件数与方程组的性态
A
=
(
1
1
3
2
4
1
2
0
2
)
=
L
U
=
(
1
0
0
2
1
0
2
−
1
1
)
(
1
1
3
0
2
−
5
0
0
−
9
)
cond
2
(
A
)
≈
4.89894
cond
2
(
L
)
≈
14.9224
,
cond
2
(
U
)
≈
14.2208.
矩阵的LU分解不一定保证条件数
\\begin{array}{l} \\boldsymbol{A}=\\left(\\begin{array}{lll} 1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 4 & 1 \\\\ 2 & 0 & 2 \\end{array}\\right)=\\boldsymbol{L} \\boldsymbol{U}=\\left(\\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 \\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & -5 \\\\ 0 & 0 & -9 \\end{array}\\right)\\\\ \\operatorname{cond}_{2}(\\mathbf{A}) \\approx 4.89894\\\\ \\operatorname{cond}_{2}(\\mathbf{L}) \\approx 14.9224, \\operatorname{cond}_{2}(\\mathbf{U}) \\approx 14.2208 .\\\\ \\text { 矩阵的LU分解不一定保证条件数 } \\end{array}
A=⎝⎛122140312⎠⎞=LU=⎝⎛12201−1001⎠⎞⎝⎛1001203−5−9⎠⎞cond2(A)≈4.89894cond2(L)≈14.9224,cond2(U)≈14.2208. 矩阵的LU分解不一定保证条件数
解决方法 ：利用正交变换实现矩阵分解。
在线性代数中，通过 Schmidt 正交化方法，若方阵 A ∈ R n × n \\boldsymbol{A} \\in \\mathrm{R}^{n \\times n} A∈Rn×n 且 rank ( A ) = n \\operatorname{rank}(\\boldsymbol{A})=n rank(A)=n, 则存在正交阵 Q Q Q 和对角元都大于零的上三角阵 R \\boldsymbol{R} R, 使得 A = Q R \\boldsymbol{A}=Q \\boldsymbol{R} A=QR, 而且对任意非零向量 α \\boldsymbol{\\alpha} α ，必有正交阵 Q \\boldsymbol{Q} Q 使 Q α = ∥ α ∥ 2 e 1 . \\boldsymbol{Q} \\boldsymbol{\\alpha}=\\|\\boldsymbol{\\alpha}\\|_{2} \\boldsymbol{e}_{1} . Qα=∥α∥2e1.
Q
R
分
解
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{Q \\boldsymbol{R}分解 } }}
QR分解 如果
A
∈
R
m
×
n
(
m
≥
n
)
,
rank
(
A
)
=
n
\\boldsymbol{A} \\in \\mathbf{R}^{m \\times n}(m \\geq n), \\operatorname{rank}(\\boldsymbol{A})=n
A∈Rm×n(m≥n),rank(A)=n, 使用同样的方法可以将
A
\\boldsymbol{A}
A 分解成 :
A
=
Q
(
R
1
0
)
=
Q
R
(1)
\\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{Q}\\left(\\begin{array}{c} \\boldsymbol{R}_{1} \\\\ 0 \\end{array}\\right)=\\boldsymbol{Q} \\boldsymbol{R}\\tag{1}
A=Q(R10)=QR(1)
其中
R
1
\\boldsymbol{R}_{1}
R1 为对角元大于零的上三角阵. 矩阵的分解式
(
1
)
(1)
(1) 称为矩阵
A
\\boldsymbol{A}
A 的
Q
R
Q \\boldsymbol{R}
QR 分解，由于
cond
2
(
A
)
=
cond
2
(
R
)
\\operatorname{cond}_{2}(\\boldsymbol{A})=\\operatorname{cond}_{2}(\\boldsymbol{R})
cond2(A)=cond2(R), 因此矩阵
A
\\boldsymbol{A}
A 的
Q
R
Q \\boldsymbol{R}
QR 分解
(
(
( 也称为正交一三角分解
)
)
) 的实现在矩阵计算中是非常重要的.
A
x
=
b
⟶
A
=
Q
R
{
Q
y
=
b
R
X
=
y
⟺
R
x
=
Q
T
b
\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{x}=\\boldsymbol{b} \\stackrel{A=Q R}{\\longrightarrow}\\left\\{\\begin{array}{l} Q y=b \\\\ R_{X}=y \\end{array} \\Longleftrightarrow \\mathbf{R} \\mathbf{x}=\\mathbf{Q}^{T} \\mathbf{b}\\right.
Ax=b⟶A=QR{QR分解与最小二乘（转载自AndyJee）