线性空间01——线性空间基和线性相关

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性空间01——线性空间基和线性相关相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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线性空间

即向量空间

定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }} 定义1​ 设 F F F 是一个数域, V V V 是一个非空集合.在 V V V 上定义一个加法运算, 即对于 V V V 中任意元素 α , β , \\alpha, \\beta, α,β, 按照某一法则,在 V V V 中存在唯一元素与之对应, 记为 α + β , \\alpha+\\beta, α+β, 称为 α \\alpha α 与 β \\beta β 的 加 法 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{加法}}} 加法​ .

定 义 2 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义2} }} 定义2​ F F F 和 V V V 的数乘, 即对于 F F F 中任意数 c c c 和 V V V 中任意元素 α , \\alpha, α, 按照某一法则, 在 V V V 中存在唯一元素与之对应, 记为 c α , c \\alpha, cα, 称为 c c c 与 α \\alpha α 的 数 乘 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{数乘}}} 数乘​ .

F F F 是一个数域, V V V 是一个非空集合,若加法和数乘对于任意 α , β , γ ∈ V , c , d ∈ F , \\alpha, \\boldsymbol{\\beta}, \\gamma \\in \\boldsymbol{V}, \\boldsymbol{c}, \\boldsymbol{d} \\in \\boldsymbol{F}, α,β,γ∈V,c,d∈F, 都有

四条加法运算封闭:

(1) 交换律： α + β = β + α \\alpha+\\beta=\\beta+\\alpha α+β=β+α
(2) 结合律: ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\\alpha+\\beta)+\\gamma=\\alpha+(\\beta+\\gamma) (α+β)+γ=α+(β+γ)
(3) 有零元:在 V V V 中存在元素0, 使对任意 α ∈ V , \\alpha \\in V, α∈V, 有 α + 0 = α \\alpha+\\mathbf{0}=\\alpha α+0=α
(4) 有负元: 对于 V V V中每个元素 α , \\alpha, α, 存在 β ∈ V , \\beta\\in V, β∈V, 使 α + β = 0 \\alpha+\\beta=\\mathbf{0} α+β=0

两条数乘运算封闭：

(5) ( c d ) α = c ( d α ) (c d) \\alpha=c(d \\alpha) (cd)α=c(dα)
(6) 1 α = α 1 \\alpha=\\alpha 1α=α

两条加法与数乘结合的规则

(7) 数对元素分配律: c ( α + β ) = c α + c β c(\\alpha+\\beta)=c \\alpha+c \\beta c(α+β)=cα+cβ
(8) 元素对数分配律: ( c + d ) α = c α + d α (c+d) \\alpha=c \\alpha+d \\alpha (c+d)α=cα+dα

则称 V V V 是 F F F 上的 线 性 空 间 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{线性空间}}} 线性空间​ , V , V ,V 中元素称为 向 量 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{向量}}} 向量​.线性空间也称为向量空间.

凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算.

例 1 \\Large\\color{violet}{例1} 例1

(1) 数域 F F F 上 n n n 维列向量全体 F n F^{n} Fn 对于向量的加法和数乘是线性空间;——向量空间

(2) 数域 F F F 上 m × n m \\times n m×n 矩阵全体 F m × n F^{m \\times n} Fm×n 对于矩阵的加法和数乘构成线性空间;——矩阵空间

(3) 数域 F F F 是数域 F F F 上的线性空间, 其中加法运算为数的加法, 数乘运算为数的乘法;

(4) C \\mathbb{C} C是 R \\mathbb{R} R 上 n n n 维列向量全体 C n C^{n} Cn 对于向量的加法和数乘是线性空间;——复向量空间

非空：包含 0

对加法与 Q \\mathbb{Q} Q -数乘封闭: ∀ α , β ∈ C , k ∈ Q : \\quad \\forall \\alpha, \\beta \\in \\mathbb{C}, k \\in \\mathbb{Q}: ∀α,β∈C,k∈Q: 显然 α + β , k α ∈ C \\alpha+\\beta, \\boldsymbol{k} \\alpha \\in \\mathbb{C} α+β,kα∈C

复数的加法显然含有零元0, 满足交换律, 结合律, 每个复数都有负元

∀ α , β ∈ C , k , l ∈ Q \\forall \\alpha, \\beta \\in \\mathbb{C}, \\boldsymbol{k}, \\boldsymbol{l} \\in \\mathbb{Q} \\quad ∀α,β∈C,k,l∈Q 因为 α , β , k , l \\alpha, \\beta, \\boldsymbol{k}, l α,β,k,l 都是复数, 显然满足如下等式:
1 ⋅ α = α k ⋅ ( l ⋅ α ) = k l ⋅ α ( k + l ) ⋅ α = k ∙ α + l ∙ α k ⋅ ( α + β ) = k ∙ α + k ∙ β \\begin{array}{ll} \\mathbf{1} \\cdot \\alpha=\\alpha & \\boldsymbol{k} \\cdot(\\boldsymbol{l} \\cdot \\alpha)=\\boldsymbol{k} \\boldsymbol{l} \\cdot \\alpha \\\\ (\\boldsymbol{k}+\\boldsymbol{l}) \\cdot \\alpha=\\boldsymbol{k} \\bullet \\alpha+\\boldsymbol{l} \\bullet \\alpha & \\boldsymbol{k} \\cdot(\\alpha+\\beta)=\\boldsymbol{k} \\bullet \\alpha+\\boldsymbol{k} \\bullet \\beta \\end{array} 1⋅α=α(k+l)⋅α=k∙α+l∙α​k⋅(l⋅α)=kl⋅αk⋅(α+β)=k∙α+k∙β​

(5) 设 C [ a , b ] C[a, b] C[a,b] 是实数域 R \\mathbb{R} R 上闭区间 [ a , b ]

以上是关于线性空间01——线性空间基和线性相关的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

32线性空间06——行空间和左零空间

『线性空间 整数线性基和异或线性基』

31线性空间05——列空间和零空间维数

33线性空间07——四个基本子空间的基与维数

线性空间维度的公式是啥？

向量空间中的：线性相关与线性无关