线性空间04——子空间的直和直和分解
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性空间04——子空间的直和直和分解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
子空间的直和
定
义
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1 } }}
定义1设
V
1
,
V
2
V_{1}, V_{2}
V1,V2 是线性空间
V
V
V 的子空间, 若
V
1
+
V
2
V_{1}+V_{2}
V1+V2 中任意向量
α
\\alpha
α 的分解式
α
=
α
1
+
α
2
,
α
1
∈
V
1
,
α
2
∈
V
2
\\alpha=\\alpha_{1}+\\alpha_{2}, \\alpha_{1} \\in V_{1}, \\alpha_{2} \\in V_{2}
α=α1+α2,α1∈V1,α2∈V2
是唯一的 , 即 则称
V
1
+
V
2
V_{1}+V_{2}
V1+V2 为直和, 记为
V
1
⊕
V
2
.
V_{1} \\oplus V_{2} .
V1⊕V2.
例 1 \\Large\\color{violet}{例1} 例1： \\quad 设实数域上的2维向量空间 R 2 R^{2} R2 。
W
1
=
{
α
∈
R
2
∣
α
W_{1}=\\left\\{\\alpha \\in R^{2} \\mid \\alpha\\right.
W1={α∈R2∣α 起点为原点终点在
x
x
x 轴上
}
\\}
}
W
2
=
{
α
∈
R
2
∣
α
W_{2}=\\left\\{\\alpha \\in R^{2} \\mid \\alpha\\right.
W2={α∈R2∣α 起点为原点终点在
y
y
y 轴上
}
\\}
}
此时, R 2 = W 1 + W 2 R^{2}=W_{1}+W_{2} R2=W1+W2 且每一个向量的分解是唯一的.
定
理
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1 } }}
定理1 设
V
1
,
V
2
V_{1}, V_{2}
V1,V2 是线性空间
V
V
V 的子空间,则
V
1
+
V
2
V_{1}+V_{2}
V1+V2是直和
V
1
⊕
V
2
V_{1} \\oplus V_{2}
V1⊕V2 的充分必要条件是零向量表示法唯一, 即若
0
=
α
1
+
α
2
,
α
1
∈
V
1
,
α
2
∈
V
2
\\mathbf{0}=\\alpha_{1}+\\alpha_{2}, \\alpha_{1} \\in V_{1}, \\alpha_{2} \\in V_{2}
0=α1+α2,α1∈V1,α2∈V2
则
α
1
=
0
,
α
2
=
0
\\alpha_{1}=\\mathbf{0}, \\alpha_{2}=\\mathbf{0}
α1=0,α2=0
推
论
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{推论1 } }}
推论1 设
V
1
,
V
2
V_{1}, V_{2}
V1,V2 是线性空间
V
V
V 的子空间, 则
V
1
+
V
2
V_{1}+V_{2}
V1+V2 是直和
V
1
⊕
V
2
V_{1} \\oplus V_{2}
V1⊕V2 的充分必要条件是
V
1
∩
V
2
=
0
V_{1} \\cap V_{2}=0
V1∩V2=0
例 2 \\Large\\color{violet}{例2} 例2：考虑 n n n 阶实矩阵所构成的 n 2 n^{2} n2 维实空间 R n × n \\mathbb{R}^{n \\times n} Rn×n 的如下子空间:
V 1 : V_{1}: V1: 对称矩阵子空间 V 2 : \\quad V_{2}: V2: 反称矩阵子空间
V 3 : V_{3}: V3: 上三角矩阵子空间 V 4 : V_{4}: V4: 严格下三角矩阵子空间
那么可以做成直和的有 以上是关于线性空间04——子空间的直和直和分解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
V
1
⊕
V
2
,
V
1
⊕
V
4
V
2
⊕
V
3