线性空间03——子空间
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性空间03——子空间相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
子空间
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }} 定理1 设 V V V 是 F F F上的线性空间, U U U 是 V V V 的非空子集,如果 U U U对于 V V V 的加法和数乘满足
(1) 对于任意 α , β ∈ U , \\alpha, \\beta \\in U, α,β∈U, 有 α + β ∈ U \\alpha+\\beta \\in U α+β∈U;
(2) 对于任意 c ∈ F , α ∈ U , c \\in F, \\alpha \\in U, c∈F,α∈U, 总有 c α ∈ U c \\alpha \\in U cα∈U;
则 U U U 本身是 F F F 上的一个线性空间.
定理中的 U U U 对于 V V V 的加法和数乘构成的线性空间称为 V V V 的一个线性 子 空 间 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{子空间}}} 子空间，它包含 V V V 的零向量. U U U的零向量也是 V V V 的零向量。
设0 是线性空间 V V V 的零向量, 则 { 0 } \\{0\\} {0} 构成子空间,称为 零 子 空 间 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{零子空间}}} 零子空间, 仍记为 0. 0 . 0.
对于任意非零线性空间 V , V, V, 零空间 { 0 } \\{0\\} {0} 与 V V V 本身都是 V V V 的子空间, 称为 平 凡 子 空 间 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{平凡子空间}}} 平凡子空间. 而其它的子空间称为 非 平 凡 子 空 间 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{非平凡子空间}}} 非平凡子空间．
注 意 \\Large\\color{violet}{注意 } 注意 设 V V V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则 R [ x ] R[x] R[x]为 V V V的一个子空间． P [ x ] n P[x]_{n} P[x]n 是 P [ x ] P[x] P[x] 的线性子空间 。
推 论 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{推论1} }} 推论1： V V V为数域 F F F上的线性空间, W ⊆ V ( W ≠ ∅ ) , \\boldsymbol{W} \\subseteq \\boldsymbol{V}(\\boldsymbol{W} \\neq \\varnothing), W⊆V(W=∅), 则 W W W是 V V V的子空间 ⇔ ∀ α , β ∈ W , ∀ a , b ∈ F , a α + b β ∈ W . \\Leftrightarrow \\forall \\alpha, \\beta \\in W, \\forall a, b \\in F, a \\alpha+b \\beta \\in W . ⇔∀α,β∈W,∀a,b∈F,aα+bβ∈W.
【证】 充分性.
a
=
b
=
1
:
∀
α
,
β
∈
W
⇒
α
+
β
∈
W
b
=
0
:
∀
α
∈
W
,
∀
a
∈
F
⇒
a
α
=
a
α
+
0
β
∈
W
a=b=\\mathbf{1}: \\quad \\forall \\alpha, \\beta \\in W \\Rightarrow \\alpha+\\beta \\in W \\\\ b=0: \\quad \\forall \\alpha \\in W , \\forall a \\in F \\Rightarrow a \\alpha=a \\alpha+0 \\beta \\in W
a=b=1:∀α,β∈W⇒α+β∈Wb=0:∀α∈W,∀a∈F⇒aα=aα+0β∈W
故
W
W
W是
V
V
V 的子空间.
必要性.
∀
α
∈
W
,
∀
a
∈
F
⇒
a
α
∈
W
(
数
乘
封
闭
)
∀
β
∈
W
,
∀
b
∈
F
⇒
b
β
∈
W
(
数
乘
封
闭
)
\\forall \\alpha \\in W, \\forall a \\in F \\Rightarrow a \\alpha \\in W \\quad (数乘封闭 ) \\\\ \\forall\\beta \\in W, \\forall b \\in F\\Rightarrow b \\beta \\in W\\quad (数乘封闭 ) \\\\
∀α∈W,∀a∈F⇒aα∈W(数乘封闭)∀β∈W,∀b∈F⇒bβ∈W(数乘封闭)
故
a
α
+
b
β
∈
W
a \\alpha+b \\beta \\in W
aα+bβ∈W （加法封闭）
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{~} }}
例
1
\\Large\\color{violet}{例1}
例1 设
A
A
A 是
m
×
n
m \\times n
m×n 矩阵,
B
B
B 是
s
×
n
s \\times n
s×n 矩阵,
V
V
V 是齐次线性方程组
A
X
=
0
A X=0
AX=0 的解空间,
U
\\boldsymbol{U}
U 是齐次线性方程组
B
X
=
0
\\boldsymbol{B X}=\\mathbf{0 }
BX=0 的 解 空 间 , 则
V
∩
U
V \\cap U
V∩U 是齐次线性方程组
(
A
B
)
X
=
0
\\left(\\begin{array}{l} A \\\\ B \\end{array}\\right) X=0
(AB)X=0
的解空间.
例
2
\\Large\\color{violet}{例2}
例2
n
n
n 元齐次线性方程组 以上是关于线性空间03——子空间的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=