VLSI数字信号处理系统——第九章滤波器和变换中的算法强度缩减
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VLSI数字信号处理系统——第九章滤波器和变换中的算法强度缩减
作者：夏风喃喃
参考：
(1) VLSI数字信号处理系统:设计与实现 （美）Keshab K.Parhi／著
(2) socvista https://wenku.baidu.com/u/socvista?from=wenku
文章目录
一.引言
经典的滤波器分两类：FIR和IIR。FIR是有限长冲击响应滤波器，硬件电路是非递归的；而IIR是无限长冲击响应滤波器，硬件电路存在递归环路，值得注意的是，IIR可以看成是一个FIR和递归环路的级联。本章的目的在于如何并行实现FIR滤波器，在获得高吞吐率的同时尽可能节约面积和功耗。
FIR其实也是一个卷积的过程，只是这个卷积不是短卷积，而是长卷积。卷积其实是一种多相式乘法，快速卷积给出了“短”多相式乘法的有效实现，只要是多相式乘法，就能用快速卷积知识搞定。接下来讨论的FIR并行实现其实可看成是“短”多相式乘法。
本章的核心思想就是分治与子结构共享。
二.并行FIR滤波器
1.并行FIR滤波器的多相式分解表示
FIR多相分解也是一种“分而治之”处理，其做法就是将“待卷积”的两个序列 x ( n ) x(n) x(n)和 h ( n ) h(n) h(n)按交叉数据分配的原则分为“相同数量的”若干个子序列。
1.1 二相分解
FIR滤波器卷积表示：
y
(
n
)
=
x
(
n
)
∗
h
(
n
)
y(n) = x(n) * h(n)
y(n)=x(n)∗h(n)
x
(
n
)
x(n)
x(n)是无限序列，
h
(
n
)
h(n)
h(n)是有限序列，将
x
(
n
)
x(n)
x(n)和
h
(
n
)
h(n)
h(n)分别做奇偶2相分解。
在频域，可表示为
其中
同理有
其中
滤波结果的频域表示为
如果
Y
(
z
)
Y(z)
Y(z)也做2相分解，则正好有
其中
矩阵表示为
将
z
2
z^2
z2替换为
z
z
z，则公式(7)就是
也就是说
y
(
n
)
y(n)
y(n)的奇偶序列分别对应两个子序列的和，2相分解2并行FIR滤波器如下图所示：
1.2 三相分解
X 0 X_0 X0( z 3 z^3 z3)、 X 1 X_1 X1( z 3 z^3 z3)和 X 2 X_2 X2( z 3 z^3 z3)分别对应时域 x ( 3 k ) x(3k) x(3k)、 x ( 3 k + 1 ) x(3k+1) x(3k+1)和 x ( 3 k + 2 ) x(3k+2) x(3k+2)； H 0 H_0 H0( z 3 z^3 z3)、 H 1 H_1 H1( z 3 z^3 z3)和 H 2 H_2 H2( z 3 z^3 z3)是 H ( z ) H(z) H(z)的三个子滤波器。
3相分解3并行FIR滤波器频域为：
因此，
矩阵表示为
3相分解3并行FIR滤波器如下图所示：
1.3 多相分解
多相分解可以将
X
(
z
)
X(z)
X(z)、
H
(
z
)
H(z)
H(z)和
Y
(
z
)
Y(z)
Y(z)分解为如下的L个子序列来获得L并行FIR滤波器：
多相分解的FIR滤波器矩阵表示如下
注意：
L
L
L并行FIR滤波器需要
L
2
L^2
L2次子滤波运算，每次运算长度为
N
/
L
N/L
N/L（N为原始滤波器抽头数），需要
N
/
L
N/L
N/L次乘法，
(
N
/
L
−
1
)
(N/L-1)
(N/L−1)次加法。
因此，这种L并行FIR滤波器需要
L
2
∗
(
N
/
L
)
L^2*(N/L)
L2∗(N/L)次，即
L
N
LN
LN次乘法运算和
L
2
∗
(
N
/
L
−
1
)
L^2*(N/L-1)
L2∗(N/L−1)次，即
L
(
N
−
1
)
L(N-1)
L(N−1)次加法运算。虽然多相式表示法没有缩减并行滤波器的复杂性，但它可以用于获得快速并行FIR滤波器。
2.快速FIR算法（FFAs）
由Winograd提出，2个L-1阶多项式相乘，可仅用（2L-1）个乘积项来实现。这种乘法数量的缩减是以加法数量的增加为代价实现的。因为FIR滤波器的多相表达式形式中的成绩项等于块表达式的滤波运算，于是并行FIR滤波器可近似用（2L-1）个长度为N/L的FIR滤波器来实现。（N为原始滤波器抽头数）
快速FIR算法（FFAs）就是依赖这种方法生成复杂度降低的并行滤波器结构。L并行滤波器可以近似用（2L-1）个长度为（N/L）的滤波运算来实现，需要（2N-N/L）次乘法。例如，N=4，L=2，传统2并行需要4次子滤波运算（即 L 2 L^2 L2），每次运算长度为2（即N/L），共需要8次乘法（即LN）。而2并行快速滤波方法仅仅需要6次乘法，当N值很大时，FFAs可以大大缩减乘法的数量。
2.1 二并行和三并行低复杂度FIR滤波器
2并行快速FIR滤波器：
将传统多相分解得到的并行滤波器改写如下：
这个2并行快速滤波器产生了共享公共项，在计算
Y
0
Y_0
Y0和
Y
1
Y_1
Y1时可以共用。如下图所示。
此结构使用三个长度为N/2的子滤波器和4个预/后处理加法运算来实现。需要3*(N/L)=1.5N次乘法和3*(N/L-1)+4=1.5N+1次加法，而传统多相分解导出的并行滤波器需要LN=2N次乘法和L(N-1)=2(N-1)次加法。
2并行快速FIR滤波器可以用矩阵表示：
其中diag是对角矩阵，
Q
2
Q_2
Q2是后处理矩阵，
P
2
P_2
P2是预处理矩阵。
Q
2
H
2
P
2
Q_2H_2P_2
Q2H2P2即公式9-16中的
H
H
H，FFAs即实现了对
H
H
H的对角化。
3并行快速FIR滤波器（理解）：
快速3并行FIR算法可以通过递归2并行快速FIR算法实现。
可用矩阵表示为
可用6个长度为N/3的子滤波器和3个预处理和7个后处理加法器构成。3并行快速FIR滤波器如下图所示：
2.2 转置的并行滤波器
任何并行FIR滤波器结构通过转置操作都可以得到另一个并行的等价结构。通常，转置的结构具有相同的硬件复杂度，而有限字长性能却不同。
考虑矩阵形式
Y
=
H
X
Y=HX
Y=HX表达的并行滤波运算，其中
H
H
H是一个L×L矩阵。通过将
H
H
H矩阵转置并交换
X
X
X和
Y
Y
Y的位置，可以得到该并行滤波算法的等价实现。
快速2并行滤波器的转置变换如下
2.3 由线性卷积得到的并行滤波算法
任何L×L卷积算法也可以得到L并行快速滤波器结构。
为了用2×2快速卷积得到一个2并行滤波器，考虑下面理想2×2线性卷积：
求取该算法的转置并对
s
i
s_i
si、
h
i
h_i
hi和
x
i
x_i
xi做适当的替换，得到2并行滤波器结构：
用这种方法与用2并行FFA直接转置变换所得到的的结构是相同的。
2.4 用于大块尺寸的快速并行FIR算法（略）
三.离散余弦变换和反离散余弦变换
DCT与IDCT:
DCT是正交变换，IDCT可以通过转置DCT实现，反之亦然。直接实现DCT需要N(N-1)次乘法运算，减少计算数量的算法是很有必要的。
1.算法结构变换
算法结构变换可以用来获得有效的DCT实现，所用乘法数量急剧减少。
例题：
2.对 2 m 2^m 2m点DCT的频率抽取快速DCT
该算法通过2的幂次的分解，将乘法的数量减少到大约 ( N / 2 ) l o g 2 N (N/2)log_2N (N/2)log2N。
快速 N = 2 m N=2^m N=2m点IDCT算法：
记
X
^
(
k
)
=
e
(
k
)
X
(
k
)
\\hat X(k) = e(k)X(k)
X^(k)=e(k)X(k)，特殊的，
X
^
(
−
1
)
=
0
\\hat X(-1) = 0
X 以上是关于VLSI数字信号处理系统——第九章滤波器和变换中的算法强度缩减的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 VLSI数字信号处理系统——第十章流水线结构的并行自适应递归滤波器