吴恩达机器学习-7-支持向量机SVM

Posted 2021-06-06 尤尔小屋的猫

公众号：尤而小屋
作者：Peter
编辑：Peter

吴恩达机器学习-7-支持向量机SVM

本周主要是讲解了支持向量机SVM的相关知识点

• 硬间隔
• 支持向量
• 软间隔
• 对偶问题

优化目标Optimization Objectives

主要是讲解如何从逻辑回归慢慢的推导出本质上的支持向量机。逻辑回归的假设形式：

• 左边是假设函数
• 右边是Sigmoid激活函数

令$z={\theta }^{T}x$，如果满足：

1. 若$y=1$，希望$h(\theta )$约为1，将样本正确分类，那么z必须满足$z>>0$
2. 若$y=0$，希望$h(\theta )$约为0，将样本正确分类，那么z必须满足$z<<0$

样本正确分类指的是：假设函数h(x)得到的结果和真实值y是一致的

总代价函数通常是对所有的训练样本进行求和，并且每个样本都会为总代价函数增加上式的最后一项（还有个系数$\frac{1}{m}$，系数忽略掉）

如果$y=1$，目标函数中只有第一项起作用，得到了表达式 ：

$$y=1-log(1-\frac{1}{1+e^{-z}})$$

支持向量机

根据逻辑回归推导得到的支持向量机的公式 ：

$$minC\sum _{i=1}^m[y^{(i)}cos{t}_1({\theta }^T{x}^{(i)})+(1-y^{(i)})cos{t}_0({\theta }^T{x}^{(i)}]+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\theta }_j^2$$

两个cost函数是上面提到的两条直线。对于逻辑回归，在目标函数中有两项：

• 第一个是训练样本的代价
• 第二个是正则化项

大边界的直观解释

下面是支持向量机的代价函数模型。

SVM决策边界

SVM鲁棒性：间隔最大化，是一种大间距分类器。

关于上图的解释：

1. C太大的话，将是粉色的线
2. C不是过大的话，将是黑色的线

大间距分类器的描述，仅仅是从直观上给出了正则化参数C非常大的情形，C的作用类似于之前使用过的正则化参数$\frac{1}{\lambda }$

• C较大，可能导致过拟合，高方差
• C较小，可能导致低拟合，高偏差

硬间隔模型

间隔和支持向量

注释：本文中全部采用列向量：

$$w=(w_1,w_2,\dots ,w_n)$$

给定一个样本训练集$D=(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_m,y_m)$，其中$y_i\in (-1,+1)$

分类学习的基本思想就是：基于训练集D在样本空间上找到一个划分的超平面

上面红色的线是最好的。所产生的分类结果是最鲁棒的，最稳定的，泛化能力是最好的。

划分超平面的的线性描述： $$w\cdot x+b=0$$

W称之为法向量（看做是列向量），决定平面的方向；b是位移项，决定了超平面和原点之间的距离。

空间中任意一点x到超平面(w,b)的距离是：

$$r=\frac{|w\cdot x+b|}{||w||}$$

在$+$区域的点满足$y=+1$：

$$w\cdot x_{+}+b\ge 1$$

在$-$区域的点满足$y=-1$：

$$w\cdot x_{-}+b\le -1$$

综合上面的两个式子有：

$$y(w\cdot x_{+}+b)-1\ge 0$$

支持向量

距离超平面最近的几个点（带上圆圈的几个点）称之为支持向量support vector，这个点到超平面到距离称之为间隔margin

刚好在决策边界上的点（下图中带上圆圈的点）满足上式中的等号成立：

$$y_i(w\cdot x+b)-1=0$$

间距margin

求解间距margin就是求解向量$(x_{+}-x_{-})$在法向量上的投影

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \\begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲margin& = (x_+-…

决策边界上的正例表示为：

$$y_i=+1\to 1\ast (w\cdot x_{+}+b)-$$

吴恩达机器学习102：支持向量机最大间距分类器

机器学习：支持向量机SVM

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吴恩达机器学习101：SVM优化目标

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