坐标系与DCM旋转矩阵

Posted 2023-03-31

参考技术A 导航坐标系 常用的导航坐标系有 北东地(NED) 和 东北天(ENU) 两种。他们的指向定义分别如下：

北东地(ENU)坐标系                        东北天(NED)坐标系            

    X→北                                                X→东

    Y→东                                                Y→北

    Z→地                                                Z→天

载体坐标系 与导航坐标系类似，常用的也有如下两种：

前右下坐标系-北东地坐标系              右前上坐标系- 东北天坐标系 

    X→前                                                X→右

    Y→右                                                Y→前

    Z→下                                                Z→上

首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示：

如图所示点v 绕 原点旋转θθ 角，得到点v’，假设 v点的坐标是(x, y) ，那么可以推导得到 v’点的坐标（x’, y’)(设原点到v的距离是r，原点到v点的向量与x轴的夹角是ϕϕ ) 

                    

                    

通过三角函数展开：

                    

                    

代入x、y表达式：

                    

                    

写成矩阵的形式：

                    

本文采用右手坐标系，同时旋转角度的正负也遵循右手坐标系的约定。

旋转顺序依次为 Z - Y - X。

绕 Z 轴的旋转矩阵：

                        

绕 Y 轴的旋转矩阵：

                        

绕 X 轴的旋转矩阵：

将以上矩阵按照Z-Y-X的转动顺序连乘，可以求得一个可以表示这个欧拉转动的旋转矩阵，也被称之为方向余弦矩阵。

绕 Z 轴的旋转矩阵：

                    

绕 Y 轴的旋转矩阵：

                    

绕 X 轴的旋转矩阵：

                    

则：

                    

记

                    

则

    roll ：            

    pitch :           

    yaw:             

变换矩阵

一.坐标变换：缩放、平移、旋转

1.缩放

其中Sc是缩放比例

2.平移

3.旋转

3.1二维坐标系旋转

 　　3.2三维坐标系旋转

　　

　　

二.向量变换（旋转、平移）

　　1.向量

2.向量的内积

3.向量的外积

　　 

 　　4.向量的性质补充

　　　　

 　　5.向量的旋转

　　　　向量的旋转与向量的外积（叉乘）：旋转轴方向与一致。旋转的角度　　　

　　　　

 

　　6.坐标系的旋转

　　　　三维直角坐标系的三个轴的相对位置永远保持一致（刚体），只需要对一个向量如：旋转平移，整个坐标系就完成了变换操作

 

　　　　6.1刚体的变换（坐标系的欧式变换）