Educational Codeforces Round 108 (Rated for Div. 2) D. Maximum Sum of Products DP

Posted 2021-06-04 kaka0010

原题链接：https://codeforces.ml/contest/1519/problem/D

目录

• 题意
• 分析
• Code

题意

有序列a和序列b，你可以对序列a翻转一个区间，最后求
$$\sum _{l=1}^n{a}_i{b}_i的最大值$$

分析

首先看复杂度，n是5e3的，因此可以用$O(N^2)$的算法，然后考虑怎么去翻转。

如果用暴力，那么需要找到所有的区间也就是$O(N^2)$然后遍历一遍序列$O(N)$最后也就是$O(N^3)$复杂度，肯定是不满足的。考虑怎么去优化，自然就是记录状态，对于区间的翻转问题，其实是有关联性的，比如说我们要求翻转$[l,r]$区间的答案，可以从$[l+1,r-1]$区间转移过来，也就是
$$dp[l][r]=dp[l+1][r-1]+a[l]b[r]+a[r]b[l]-a[l]b[l]-a[r]b[r]$$
这样我们只要枚举中心点，然后后向两边拓展就可以了。其中还有一个细节，区间大小可能是偶数也可能是奇数。

1. 如果是偶数，我们直接从i和i+1开始拓展
2. 如果是奇数，我们先记录$a[i]\ast b[i]$，再从i-1，i+1开始拓展

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define re register
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> PII;
typedef unsigned long long ull;
const int N = 5e5 + 10, M = 1e6 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9+7;
ll dp[5005][5005];
ll a[N], b[N], pre[N];
void solve() {
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) pre[i] = pre[i-1] + a[i] * b[i];
    ll ans = pre[n];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll cur = a[i] * b[i];
        for (int l = i - 1, r = i + 1; l >= 1 && r <= n; l--, r++) {
            cur += a[l] * b[r];
            cur += a[r] * b[l];
            ans = max(ans, cur + pre[l-1] + pre[n] - pre[r]);
        }
        cur = 0;
        for (int l = i, r = i + 1; l >= 1 && r <= n; l--, r++) {
            cur += a[l] * b[r];
            cur += a[r] * b[l];
            ans = max(ans, cur + pre[l-1] + pre[n] - pre[r]);
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

signed main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
#ifdef ACM_LOCAL
    freopen("input", "r", stdin);
    freopen("output", "w", stdout);
#endif
    solve();
    return 0;
}