ZOJ 4114 Flipping Game DP+组合数

Posted 2021-06-04 kaka0010

原题链接：https://zoj.pintia.cn/problem-sets/91827364500/problems/91827370509

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题意

有两列字符串由01组成，0和1代表灯的亮灭。共有n个点灯，第一个字符串代表操作前的灯状态，第二个字符串代表操作后的灯状态，现在你每回合可以选择m个不同的点灯改变状态，问k回合之后，有多少种方案的操作使字符串1变成字符串2。

数据范围$0<n,m,k<100$

分析

非常典型的dp题，但状态是挺难想的。我们首先可以将两个串简化一下，变成当前有多少灯的状态是不同的。已知每次可以翻转m次，然后就可以去推式子了…

1. 我们翻转x个当前不同的灯，那么就要翻转m-x个相同的灯，那么翻转前后不同灯的数量变化就是$pre-x+m-x=now$
2. 翻转的方案数$comb[pre][x]\ast comb[n-pre][m-x]$就是两种方案的组合数

最后注意预处理一下组合数

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define re register
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> PII;
typedef unsigned long long ull;
const int N = 1e5 + 10, M = 1e6 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 998244353;
ll f[110], comb[110][110], dp[110][110];
ll ksm(ll a, ll b) {
    ll res = 1, base = a;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * base % MOD;
        base = base * base % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
void init() {
    f[0] = 1;
    for (ll i = 1; i < 110; i++) f[i] = f[i-1] * i % MOD;
}
ll C(ll a, ll b) {
    if (a < 0 || b < 0 || b > a) return 0;
    return f[a] * ksm(f[a-b], MOD-2) % MOD * ksm(f[b], MOD-2) % MOD;
}
void solve() {
    init();
    for (int i = 0; i <= 105; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            comb[i][j] = C(i, j);
        }
    }
    int T; cin >> T; while (T--) {
        int n, m, k;
        cin >> n >> k >> m;
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        string s1, s2; cin >> s1 >> s2;
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) if (s1[i] != s2[i]) cnt++;
        dp[0][cnt] = 1;
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++) {//当前j个数不同
                for (int o = 0; o <= m; o++) {//选择o个不同的数翻转
                    int y = j - o + m - o;//翻转后不同的数
                    if (j >= o && n - j >= m - o) {
                        dp[i][y] += dp[i - 1][j] * comb[j][o] % MOD * comb[n - j][m - o] % MOD;
                        dp[i][y] %= MOD;
                    }
                }
            }
        }
        cout << dp[k][0] << endl;
    }
}

signed main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
#ifdef ACM_LOCAL
    freopen("input", "r", stdin);
    freopen("output", "w", stdout);
#endif
    solve();
    return 0;
}