HDU 1421 搬寝室（贪心 + 动态规划）

Posted 2021-06-04 jpphy0

题目

搬寝室 - http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1421

分析

引导

在2 5 9 76 8 56 19 24 34 6共10个数中任选6个数分成3组，例如：(2, 8)、 (6, 24)、(56, 19) ，有无使得3组数据的差的平方和更小的方案？

• 2 5 6 8 9 19 24 34 56 76
• 2 5 6 8 9 19 24 34 56 76
• 2 5 6 8 9 19 24 34 56 76
  【贪心：排序后取相邻的数成为一个分组易得更优方案】
• 2 5 6 8 9 19 24 34 56 76
• 2 5 6 8 9 19 24 34 56 76
• 2 5 6 8 9 19 24 34 56 76

取1组的方案？

• 方案数：9
• (1，2)、(2，3)、(3，4)、(4，5)、(5，6)、(6，7)、(7，8)、(8，9)、(9，10)

取2组的方案？

• 方案数及分类：7+6+5+4+3+2+1
• 按第1组的位置分类 —— 到哪里去？
  • (1，2)、[(3，4)、…、(9，10)]
  • (2，3)、[(4，5)、…、(9，10)]
  • (3，4)、[(5，6)、…、(9，10)]
  • (4，5)、[(6，7)、…、(9，10)]
  • (5，6)、[(7，8)、…、(9，10)]
  • (6，7)、[(8，9)、…、(9，10)]
  • (7，8)、[(9，10)]
  • 若增加一个物品，改变所有类
• 按2组的位置分类 —— 从哪里来？
  • [(1，2)]、(3，4)
  • [(1，2)、(2，3)]、(4，5)
  • [(1，2)、…、(3，4)]、(5，6)
  • [(1，2)、…、(4，5)]、(6，7)
  • [(1，2)、…、(5，6)]、(7，8)
  • [(1，2)、…、(6，7)]、(8，9)
  • [(1，2)，…，(7，8)]、(9，10)
  • 若增加一个物品，将增加一类

取3组的方案？k组呢？

• 按第1、第2组的位置分类 —— 到哪里去？
  • 初始状态共28个，可分28类
  • 随k增加，类别更多
• 按第3组的位置分类 —— 从哪里来？
  • 共5类
    • [……]、(5，6)
    • [……]、(6，7)
    • [……]、(7，8)
    • [……]、(8，9)
    • [……]、(9，10)
  • 随k增加，类别减少

子问题

• 静态问题动态化
• 最简单的情形：2个物品取1组
• 次简单的情形：3个物品取1组、4个物品取1组、……（注意：包含关系）
• 稍复杂的情形：4个物品取2组、5个物品取2组、……（注意：包含关系）
• ……
• 复杂情形能根据简单情形推导吗？
  • 能，n个物品取m组的最优解可以根据 n-1个物品取m组的最优解和n-2个物品取m-1组的最优解推导。
  • $(n-1,m)和(n-2,m-1)\to (n,m)$
  • $方程：(n,m)=max\left((n-1,m)，(n-2，m-1)+(a_n-a_{n-1}{)}^2\right)$
  • 每一个子问题都是一次贪心 —— 分阶段分类贪心

最优解递推过程

代码【78MS】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MXN 2010
#define INF 0x7fffffff
int n, k, a[MXN], dp[MXN];
int main() {
    while (cin >> n >> k) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a+i);
		sort(a+1, a+n+1);
		memset(dp, 0, sizeof dp);
		dp[0] = INF;
		for(int i = 1; i <= k; i++){
			for(int j = 1; j <= n+2-2*k; j++){
				dp[j] = min(dp[j-1], dp[j]+(a[2*i-2+j]-a[2*i+j-1])*(a[2*i-2+j]-a[2*i+j-1]));
			}
		}
        cout << dp[n+2-2*k] << endl;
    }
    return 0;
}