Codeforces Round #723 (Div. 2)Codeforces-1526ABCD

Posted JophieQu

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Codeforces Round #723 (Div. 2)Codeforces-1526ABCD相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

A. Mean Inequality

void solves(){
	int n;cin>>n;
	n*=2;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
	sort(a+1,a+1+n);
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i+=2){
		b[i]=a[++tot];
	}
	for(int i=2;i<=n;i+=2){
		b[i]=a[++tot];
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) cout<<b[i]<<" ";cout<<endl;
}

B. I Hate 1111

void solves(){
	ll x;cin>>x;
	if(x<=100){
		if(x%11==0){
			cout<<"YES\\n";return ;
		}
		if(x<11){
			cout<<"NO\\n";return ;
		}
	}
	x*=9;
	int n=x%99,m=x/99/10;
	if(n<=9*m)cout<<"YES\\n";
	else cout<<"NO\\n";
}

C1. Potions (Easy Version)

C2. Potions (Hard Version)

带悔贪心,dp应该也能做

void solves(){
	priority_queue<int> q;
	int n;cin>>n;
	ll sum=0,now=0,ans=0;
	for(int i=0;i<n;++i){
		cin>>now;
		sum+=now;
		if(now>=0) ++ans;
		else q.push(-now);
		while(q.size()&&sum<0){
			sum+=q.top();
			q.pop();
		}
	}
	cout<<ans+q.size()<<endl;
}

D. Kill Anton

前置知识:1.没有学过线性代数的同学需要百度一下逆序对/逆序数的定义 2.树状数组or归并排序求逆序数 3.全排列函数next_permutation的用法

我和张老师口胡出来的引理:给定无序排列通过交换相邻两个元素后变为升序排列(∀i>j,ai≥aj),其最小交换次数为最初无序排列的逆序数。
引理的简单证明:显然,最小交换次数具体实现就是保证每一次交换都使得逆序数减小。而交换两个相邻且不同的元素只会使逆序数+1或-1。我们只需要做使逆序数不断-1的交换即可。

在探究一个无序排列1通过交换相邻元素变为另一个无序排列2的最小交换次数时,我们不妨重新给无序排列2进行人为的权重赋值,使其重新构成升序排列,再将无序排列2重新赋值后的权重一一对应回无序排列1。由此可以将问题抽象成引理的条件。
上面这段话说的可能有点抽象,我们用样例来举个栗子:
要从NNOTA变为ANTON,我们先人为给ANTON进行权重赋值
A N T O N ANTON ANTON    ⟸    \\impliedby N N O T A NNOTA NNOTA
1    2    3    4    5 2      5    4    3    1 1\\; 2 \\; 3 \\; 4 \\;5 \\qquad \\quad2 \\;\\;5\\;4\\;3\\;1 1234525431
显然【25431】的逆序数为7。
需要注意的是,由于我们需要求的是最小移动次数。所以在对NNOTA进行权重排列的时候,应该让相同的字母是按升序排序(为了让逆序数尽可能更小)( ( 1 ) ^{(1)} (1))。所以NNOTA的权重排列应该是【25431】而不是【52431】。

结论:存在一个最佳答案,在该答案中相同类型的元素将连续出现。
该结论的证明思路和官方题解大致相同。其实证明思路不难,只是官方的证明写得抽象,这里我们会讲得相对具体一些。
我们设一段排列为: X X A A . . . A A [ A i ] X X . . . X X [ A j ] A A . . . A A X X XXAA...AA[A_{i}]XX...XX[A_{j}]AA...AAXX XXAA...AA[Ai]XX...XX[Aj]AA...AAXX ,其中X是与A不同的元素。每一个元素都有一个权值 C k C_k Ck,但相同的元素的权值是升序的,这一点我们在( ( 1 ) ^{(1)} (1)) 中阐述过。我们分别设两个[A]的下标为i和j,即 C i < C j C_i < C_j Ci<Cj ( ( 2 ) ) (^{(2)}) ((2))
我们再记 D 1 = ∑ k = i + 1 j − 1 s g n ( C k − C i )    , D 2 = ∑ k = i + 1 j − 1 s g n ( C j − C k ) D_1=\\sum_{k=i+1}^{j-1} sgn (C_k−C_i) \\; ,D2=\\sum_{k=i+1}^{j-1} sgn(C_j−C_k) D1=k=i+1j1sgn(CkCi)D2=k=i+1j1sgn(CjCk)
显然 D 1 + D 2 ≥ 0 D_1+D_2≥0 D1+D20。因为假设 D 1 + D 2 < 0 D_1+D_2<0 D1+D2<0,那么存在 k k k使得 s g n ( C k − C i ) + s g n ( C j − C k ) < 0 sgn(C_k-C_i)+sgn(C_j-C_k)<0 sgn(CkCi)+sgn(CjCk)<0,即 C j < C i C_j<C_i Cj<Ci,与 ( ( 2 ) ) (^{(2)}) ((2))矛盾。
我们由 D 1 + D 2 ≥ 0 D_1+D_2≥0 D1+D20可推出 D 1 ≥ 0 D_1≥0 D10 D 2 ≥ 0 D_2≥0 D20。不失一般性,我们假设 D 1 ≥ 0 D_1≥0 D10
D 1 ≥ 0 D_1≥0 D10时,意味着 [ A i ] [A_i] [Ai] [ A j ] [A_j] [Aj]之间的(j-i-1)个元素中,与 [ A i ] [A_i] [Ai]构成逆序对的个数≥与 [ A j ] [A_j] [Aj]构成逆序对的个数,此时我们将 [ A j ] [A_j] [Aj]移动到i+1的位置上,只会使总的逆序数可能增大( D 1 = 0 D_1=0 D1=0时逆序数不变,>0时逆序数增大),而不会使得总的逆序数减小。为了使得排列的逆序数更大且方便解题,我们尽可能地将相同的元素排列在一起。

当相同的元素排列在一起时,由于最多只有4个不同的元素,所以最多有4!=24种排列方式,可以直接枚举。我们通过枚举最多24种排列的逆序数来确定最大的那个解,复杂度应该可能是O(24*nlogn)

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\\n'
const Codeforces Round #723 (Div. 2)Codeforces-1526ABCD

Codeforces Round #723 (Div. 2)Codeforces-1526ABCD

Codeforces Round #723 (Div. 2)

Codeforces Round #723 (Div. 2), A. Mean Inequality

Codeforces Round #723 (Div. 2)B. I Hate 1111

Codeforces Round #723 (Div. 2)