数据结构—— 线性结构：线性表

Posted 大彤小忆

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构—— 线性结构：线性表相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1. 线性表

1.1 引入：多项式的表示

  例：一元多项式及其运算
    一元多项式： f ( x ) = a 0 + a 1 x + . . . + a n − 1 x n − 1 + a n x n f(x) = a_{0} + a_{1}x+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n} f(x)=a0​+a1​x+...+an−1​xn−1+an​xn
    主要运算： 多项式相加、相减、相乘等。
    分析： 如何表示多项式？
        ⋄ \\diamond ⋄ 多项式的关键数据：多项式项数n
        ⋄ \\diamond ⋄ 各项系数 a i a_{i} ai​及指数 i i i

  • 方法1： 顺序存储结构直接表示
          数组各分量对应多项式各项，a[i]为项 x i x^{i} xi的系数 a i a_{i} ai​。例如， f ( x ) = 4 x 5 − 3 x 2 + 1 f(x) = 4x^{5}-3x^{2}+1 f(x)=4x5−3x2+1表示成
     
    在这里插入图片描述 
          两个多项式相加：两个数组对应分量相加。
          问题： 如何表示多项式 x + 3 x 2000 x+3x^{2000} x+3x2000？

  • 方法2： 顺序存储结构表示非零项
          每个非零项 a i x i a_{i}x^{i} ai​xi涉及两个信息：系数 a i a_{i} ai​和指数 i i i，可以将一个多项式看成是一个 ( a i , i ) (a_{i}, i) (ai​,i)二元组的集合。
          用结构数组表示：数组分量是由系数 a i a_{i} ai​、指数 i i i组成的结构，对应一个非零项。
          例如， P 1 ( x ) = 9 x 12 + 15 x 8 + 3 x 2 P_{1}(x) = 9x^{12}+15x^{8}+3x^{2} P1​(x)=9x12+15x8+3x2， P 2 ( x ) = 26 x 19 − 4 x 8 − 13 x 6 + 82 P_{2}(x) = 26x^{19}-4x^{8}-13x^{6}+82 P2​(x)=26x19−4x8−13x6+82表示成
     
    在这里插入图片描述 
          按指数大小有序存储！
          相加过程：从头开始，比较两个多项式当前对应项的指数，若相同，将系数相加。即 P 3 ( x ) = P 1 ( x ) + P 2 ( x ) = 26 x 19 + 9 x 12 + 11 x 8 − 13 x 6 + 3 x 2 + 82 P_{3}(x) = P_{1}(x)+P_{2}(x)=26x^{19}+9x^{12}+11x^{8}-13x^{6}+3x^{2}+82 P3​(x)=P1​(x)+P2​(x)=26x19+9x12+11x8−13x6+3x2+82。

  • 方法3： 链表结构存储非零项
          链表中每个结点存储多项式中的一个非零项，包括系数和指数两个数据域以及一个指针域。
     在这里插入图片描述 
          例如 P 1 ( x ) = 9 x 12 + 15 x 8 + 3 x 2 P_{1}(x) = 9x^{12}+15x^{8}+3x^{2} P1​(x)=9x12+15x8+3x2， P 2 ( x ) = 26 x 19 − 4 x 8 − 13 x 6 + 82 P_{2}(x) = 26x^{19}-4x^{8}-13x^{6}+82 P2​(x)=26x19−4x8−13x6+82，链表存储形式如下所示。
     
    在这里插入图片描述 
          链表结构定义如下所示。

typedef struct PolyNode *Polynomial;
struct PolyNode {
    int coef;
    int expon;
    Polynomial link;
}

  ​多项式表示问题的启示：1．同一个问题可以有不同的表示（存储）方法；
  ​  ​  ​  ​  ​ ​  ​2．有一类共性问题：有序线性序列的组织和管理。

1.2 什么是线性表

  线性表是最基本、最简单、也是最常用的一种数据结构。线性表（linear list）是数据结构的一种，一个线性表是n个具有相同特性的数据元素的有限序列。
  线性表中数据元素之间的关系是一对一的关系，即除了第一个和最后一个数据元素之外，其它数据元素都是首尾相接的（注意，这句话只适用大部分线性表，而不是全部。比如，循环链表逻辑层次上也是一种线性表，存储层次上属于链式存储，但是把最后一个数据元素的尾指针指向了首位结点）。

  ​ “线性表（Linear List）”： 由同类型数据元素构成有序序列的线性结构。
     ⋄ \\diamond ⋄ 表中元素个数称为线性表的长度；
     ⋄ \\diamond ⋄ 线性表没有元素时，称为空表；
     ⋄ \\diamond ⋄ 表起始位置称为表头，表结束位置称表尾。

1.3 线性表的抽象数据类型描述

  类型名称： 线性表（List）
  数据对象集： 线性表是 n (≥0) 个元素构成的有序序列 { a 1 , a 2 , … , a n } \\{a_1,a_2,…,a_n\\} {a1​,a2​,…,an​}
  操作集： 线性表L ∈ ∈ ∈ List，整数 i 表示位置，元素 X ∈ ∈ ∈ElementType
       线性表基本操作主要有：

  1. List MakeEmpty()： 初始化一个空线性表L；
  2. ElementType FindKth(int K, List L)：根据位序K，返回相应元素；
  3. int Find(ElementType X, List L)：在线性表L中查找X的第一次出现位置；
  4. void Insert(ElementType X, int i, List L)：在位序i前插入一个新元素X；
  5. void Delete(int i, List L)：删除指定位序i的元素；
  6. int Length(List L)：返回线性表 的长度n。

1.4 线性表的顺序存储实现

  利用数组的连续存储空间存放线性表的各元素。线性表的顺序存储中的下标从 0 开始。

在这里插入图片描述
   线性表的顺序存储数据结构定义如下所示。

typedef struct LNode *List;
struct LNode{
    ElementType Data[MAXSIZE];
    int Last;
};
struct LNode L;
List PtrL;

   访问下标为 i 的元素：L.Data[i]或PtrL->Data[i]。
   线性表的长度：L.Last+1或PtrL->Last+1。

   主要操作的实现：

   1. 初始化（建立空的顺序表)

List MakeEmpty( )
{
    List PtrL;
    PtrL= (List )malloc( sizeof(struct LNode)) ;
    PtrL->Last = -1;
    return PtrL;
}

   2. 查找

   (1）按值查找：Find

int Find(ElementType X，List PtrL)
{
    int i = 0;
    while( i <= PtrL->Last && PtrL->Data[i]!= X )
    {
        i++;
    }
    if (i > PtrL->Last)
        return -1;  //如果没找到，返回-1
    else  
        return i;  //找到后返回的是存储位置·
}

   (2）按序号查找：FindKth

ElementType FindKth(int K, List L) 
{
	if (K < 0 || L->Last < K)  //位置越界
	{  
		return NULL;
	}
	return L->Data[K];
}

   查找成功的平均比较次数为 ( n + 1 ) / 2 (n+1)/2 (n+1)/2，平均时间性能为 O ( n ) O(n) O(n)。

   3. 插入 (第 i ( 1 ⩽ i ⩽ n + 1 ) i (1 \\leqslant i \\leqslant n+1) i(1⩽i⩽以上是关于数据结构—— 线性结构：线性表的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

数据结构学习笔记二线性表---顺序表篇（画图详解+代码实现）

Java数据结构学习笔记之一线性表的存储结构及其代码实现

线性表的链式存储(C代码实现)

数据结构-线性表

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线性表的插入和删除操作代码(C语言)