CodeForces - 1497E2 Square-free division (hard version)(dp+数论)

Posted 2021-05-29 Frozen_Guardian

题目链接：点击查看

题目大意：给出一个长度为 $n$ 的数列，现在最多可以修改 $k$ 个数字为任意数值，现在问最少可以将数列划分成多少个连续的数列，使得每一个单独的段中，任意两个数的乘积都不能是完全平方数，完全平方数是指诸如 $1,4,9,16$ 等

题目分析：先简单说一下 $E1$，$E1$ 就是 $k=0$ 的情况，正因为少了修改，所以直接贪心即可，依据就是，当遍历到 $x$ 时，若 $x$ 可以和前面一段的数字中的任意一个组成完全平方数，则让 $x$ 新开一段，否则就将 $x$ 加入前一段一定是最优的

现在问题转换为了，如何快速判断前面的一段中是否存在着能和 $x$ 组成完全平方数的数字呢？直接去思考完全平方数的因子可就走远了，考虑完全平方数在进行质因子分解后的特征，显然所有的质因子都是偶数个的

那么我们可以将 $x$ 中所有偶数个数的质因子都删掉，因为不做贡献。现在只剩下了奇数个数的质因子了，而对于奇数个数的质因子，假设有 $cnt$ 个 $p$，且 $cnt$ 为奇数，则只有一个 $p$ 实际上是有贡献的，因为 $cnt$ 个 $p$ 可以分解为一个 $p$ 和 $cnt-1$ 个 $p$，在这里 $cnt-1$ 显然为偶数，所以不做贡献

到此为止不难看出，如果两个数字在将偶数个数的质因子都筛掉之后相等，那么这两个数的乘积就是一个完全平方数，所以 $E1$ 的解法就呼之欲出了，只需要开个桶贪心去维护一下就可以了

继续讨论 $E2$，因为 $k$ 比较小，且是一个待修改的贪心问题，不难想到是 $dp$，先设计一下状态，这个题目本质上还是一种区间划分问题，那么就设计 $d{p}_{i,j}$ 为到了第 $i$ 个位置，做了 $j$ 次修改后，可以划分的最小段数，答案显然就是 $d{p}_{n,k}$ 了

区间划分问题最基础的转移是枚举最后一段的起点然后进行转移，时间复杂度至少是 $O(n^2)$ 级别的

接下来就是我觉得比较难思考的两个点了，首先第一个点就是需要观察到，对于本题而言，考虑将 $d{p}_{i,j}$ 的第二维固定后，$dp$ 的值与第一维的值，是正相关的。简单来说就是随着 $i$ 的单调递增，$dp$ 的值是一个非严格上升序列

所以对于 $d{p}_{i,j}$ 的转移，我们只需要找到，尽可能靠前的合法位置进行转移即可，那么此时我们就需要预处理出一个 “合法” 数组 $l_{i,j}$ ，代表到了第 $i$ 个位置，最多可以修改 $j$ 次时，可以到达最远的左端点的位置

单独考虑预处理的 $l$ 数组，不难看出就是个简单的尺取，这样一来 $dp$ 方程的转移复杂度就下降到了 $O(n{k}^2)$ 了

简单说一下转移方程：

$d{p}_{(i,j)}=min(d{p}_{(i,j)},d{p}_{(l_{(i,t)},j-t)}+1)$

代码：

// Problem: E2. Square-free division (hard version)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #708 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1497/problem/E2
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=2e5+100;
const int M=1e7+100;
int a[N],cnt,pri[M],mmin[M],num[M],l[N][25],dp[N][25];
bool vis[M];
void P() {
	for(int i=1;i<M;i++) {
		mmin[i]=i;
	}
	for(int i=2;i<M;i++) {
		if(!vis[i]) {
			pri[cnt++]=i;
		}
		for(int j=0;j<cnt&&pri[j]*i<M;j++) {
			mmin[i*pri[j]]=min(mmin[i*pri[j]],i);
			mmin[i*pri[j]]=min(mmin[i*pri[j]],pri[j]);
			vis[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j]==0) {
				break;
			}
		}
	}
}
int only(int x) {
	int ans=1;
	while(x!=1) {
		int tmp=mmin[x];
		int cnt=0;
		while(x%tmp==0) {
			x/=tmp;
			cnt++;
		}
		if(cnt&1) {
			ans*=tmp;
		}
	}
	return ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	P();
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		int n,k;
		read(n),read(k);
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			int x;
			read(x);
			a[i]=only(x);
			for(int j=0;j<=k;j++) {
				dp[i][j]=inf;
			}
		}
		for(int t=0;t<=k;t++) {
			int p=1,cnt=0;
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				num[a[i]]++;
				if(num[a[i]]>1) {
					cnt++;
				}
				while(cnt>t) {
					if(num[a[p]]>1) {
						cnt--;
					}
					num[a[p]]--;
					p++;
				}
				l[i][t]=p;
			}
			for(int i=p;i<=n;i++) {
				num[a[i]]--;
			}
		}
		for(int t=0;t<=k;t++) {
			dp[0][t]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=0;j<=k;j++) {
				for(int t=0;t<=j;t++) {
					dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[l[i][t]-1][j-t]+1);
				}
			}
		}
		cout<<dp[n][k]<<endl;
	}
    return 0;
}